¿Qué es la calculadora de integración numérica de Gauss-Kronrod?
Esta herramienta calcula la integral definida de una función \(f(x)\) sobre un intervalo finito \([a, b]\) empleando cuadratura de tipo Gauss. Evalúa el integrando en una serie de nodos cuidadosamente elegidos, los multiplica por pesos calculados de antemano y suma todas las contribuciones. A continuación compara una estimación de orden superior \(K\) con una estimación de Gauss-Legendre de orden inferior \(G\) para obtener una cota de error \(|K - G|\), lo que te da una medida de confianza en el resultado.
Cómo usarla
Escribe una expresión matemática en función de \(x\) (por ejemplo 4/(1+x^2) o sin(x)), fija el límite inferior \(a\) y el límite superior \(b\), y elige el número de puntos \(n\) de la regla (impar, de 3 a 99). Cuantos más puntos uses, mayor será la precisión para integrandos suaves. La sintaxis admitida incluye + − * / ^, paréntesis y las funciones sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs, sinh, cosh, tanh, además de las constantes pi y e.
La fórmula
Las reglas de cuadratura se definen en \([-1, 1]\) como la suma ponderada de los valores del integrando. Para integrar en \([a, b]\) se aplica un cambio de variable afín: \(x(t) = \frac{b-a}{2} \cdot t + \frac{a+b}{2}\), con \(dx = \frac{b-a}{2} \cdot dt\). Así, la integral equivale a \(\frac{b-a}{2}\) multiplicado por la suma de los pesos \(w_i\) por el valor de \(f\) en los nodos transformados.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$Los nodos de Gauss-Legendre son las raíces del polinomio de Legendre, que aquí se obtienen mediante el método de Newton, con pesos \(w_i = \frac{2}{(1 - t_i^2) \cdot P'_m(t_i)^2}\).
Ejemplo resuelto
Para \(f(x) = \sin(x)\) en \([0, \pi]\), la integral exacta es
$$[-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2.$$La calculadora devuelve aproximadamente 2 con un error estimado mínimo. Del mismo modo, \(f(x) = \frac{4}{1+x^2}\) en \([0, 1]\) devuelve \(\pi = 3{,}14159265\), ya que \(4\cdot\arctan(1) = \pi\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué n tiene que ser impar? El par anidado de Gauss-Kronrod reutiliza \(m = \frac{n-1}{2}\) nodos de Gauss, lo que exige un número total de nodos impar.
¿Qué significa la estimación del error? Es la diferencia absoluta entre la estimación de orden superior y la de orden inferior; un valor pequeño indica convergencia.
¿Y las singularidades? Las singularidades integrables en los extremos reducen la precisión. Las evaluaciones no finitas se descartan, y si \(a = b\) el resultado es exactamente 0.
