Qué hace esta calculadora
Esta herramienta aproxima la integral definida de una función \(f(x)\) en un intervalo finito \([a, b]\) mediante la regla del trapecio compuesta. Funciona con cualquier integrando analítico y no periódico, y se trata de matemática universal: el resultado no depende de unidades, monedas ni del país. Solo tienes que indicar la función, los límites inferior y superior, y el número máximo de subintervalos; la calculadora afina la estimación duplicando repetidamente el número de subdivisiones y muestra la secuencia que converge hacia el valor real.
Cómo usarla
Escribe tu función en términos de x. Se admiten los operadores + - * /, las potencias (^ o **) y funciones como sin, cos, tan, exp, log (logaritmo natural), ln, sqrt, abs, además de las constantes pi y e. Introduce los límites \(a\) y \(b\) (cualquier número real; si \(a > b\), el signo se ajusta de forma automática). Elige el número máximo de subdivisiones \(N\) (una potencia de dos entre 32 y 2048). El resultado mostrado \(S\) corresponde al valor del trapecio para el mayor \(N\).
La fórmula explicada
Dividimos \([a, b]\) en \(n\) partes iguales de ancho \(h = (b - a) / n\). La regla del trapecio sustituye la curva en cada tramo por una recta y suma las áreas de los trapecios resultantes:
$$S(n) = \frac{h}{2}\left[ f(a) + 2\left(f(a+h) + f(a+2h) + \cdots + f(a+(n-1)h)\right) + f(b) \right]$$ Los extremos se ponderan una vez y cada nodo interior, dos veces. El error disminuye según \(O(h^2)\), de modo que duplicar \(n\) reduce el error aproximadamente cuatro veces en funciones suaves.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(f(x) = \frac{4}{1+x^2}\) en \([0, 1]\), cuyo valor exacto es \(\pi\). Con \(n = 2\), \(h = 0{,}5\): \(f(0)=4\), \(f(0{,}5)=3{,}2\), \(f(1)=2\), así que $$S = 0{,}25\cdot(4 + 2\cdot 3{,}2 + 2) = 3{,}1$$ Con \(n = 4\) se obtiene \(3{,}131176\); con \(n = 8\), \(3{,}138988\); y con \(n = 64\), alrededor de \(3{,}141552\), acercándose cada vez más a \(\pi = 3{,}14159265\ldots\)
Preguntas frecuentes
¿Por qué mi resultado no es exacto? La regla del trapecio es una aproximación. Aumenta \(N\) para ganar precisión; la tabla de convergencia muestra a qué velocidad se estabiliza el valor.
¿Puedo integrar funciones periódicas o con singularidades? El método supone un integrando suave y no periódico. Si hay singularidades en los extremos o en el interior, el resultado puede ser erróneo o no estar definido; en esos casos conviene usar un método específico.
¿Y si \(a\) es igual a \(b\)? La integral sobre un intervalo de ancho cero es 0, valor que la calculadora devuelve directamente.
