यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल संयुक्त समलंब नियम (composite trapezoidal rule) का उपयोग करके किसी फलन f(x) के [a, b] परिमित अंतराल पर निश्चित समाकल का अनुमान लगाता है। यह किसी भी विश्लेषी (analytic), अआवर्ती (non-periodic) समाकल्य के लिए काम करता है और सार्वभौमिक गणित है — परिणाम इकाई, मुद्रा या देश पर निर्भर नहीं करता। आप फलन, निचली व ऊपरी सीमा, और उपअंतरालों की अधिकतम संख्या दें; कैलकुलेटर बार-बार उपविभाजनों की संख्या दोगुनी करके अनुमान को परिष्कृत करता है और अभिसरण करता क्रम दिखाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने फलन को x के पदों में टाइप करें — संक्रियाएँ + - * /, घात (^ या **), और sin, cos, tan, exp, log (प्राकृतिक), ln, sqrt, abs जैसे फलन, साथ ही स्थिरांक pi और e समर्थित हैं। सीमाएँ a और b दर्ज करें (कोई भी वास्तविक संख्या; यदि a > b हो तो चिह्न स्वतः संभाल लिया जाता है)। उपविभाजनों की अधिकतम संख्या N चुनें (32 से 2048 तक 2 की घात)। बताया गया उत्तर S सबसे बड़े N पर समलंब मान होता है।
सूत्र की व्याख्या
[a, b] को \( h = (b - a) / n \) चौड़ाई वाले n बराबर हिस्सों में बाँटें। समलंब नियम प्रत्येक हिस्से पर वक्र को एक सीधी रेखा से बदल देता है और बनने वाले समलंबों के क्षेत्रफलों को जोड़ता है:
$$ S(n) = \frac{h}{2} \cdot \left[ f(a) + 2 \cdot \big( f(a+h) + f(a+2h) + \cdots + f(a+(n-1)h) \big) + f(b) \right] $$ अंत्य बिंदुओं को एक बार और प्रत्येक आंतरिक बिंदु को दो बार भार दिया जाता है। त्रुटि \( O(h^2) \) की तरह घटती है, इसलिए चिकने फलनों के लिए n दोगुना करने पर त्रुटि लगभग चौथाई रह जाती है।
हल किया गया उदाहरण
\( f(x) = 4/(1+x^2) \) को [0, 1] पर लें, जिसका सटीक मान π है। \( n = 2 \), \( h = 0.5 \) के साथ: \( f(0)=4 \), \( f(0.5)=3.2 \), \( f(1)=2 \), अतः $$ S = 0.25 \cdot (4 + 2 \cdot 3.2 + 2) = 3.1 $$ \( n = 4 \) पर \( 3.131176 \) मिलता है, \( n = 8 \) पर \( 3.138988 \), और \( n = 64 \) पर मान लगभग \( 3.141552 \) हो जाता है — जो \( \pi = 3.14159265\ldots \) के निकट पहुँच रहा है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
मेरा परिणाम थोड़ा गलत क्यों है? समलंब नियम अनुमानित होता है। अधिक सटीकता के लिए N बढ़ाएँ; अभिसरण तालिका दिखाती है कि यह कितनी तेज़ी से स्थिर होता है।
क्या मैं आवर्ती या एकल (singular) फलनों का समाकलन कर सकता हूँ? यह विधि चिकने, अआवर्ती समाकल्य मानती है। अंत्य बिंदुओं या भीतर एकलताओं (singularities) पर परिणाम गलत या अपरिभाषित हो सकता है — इसके बजाय किसी विशेष विधि का उपयोग करें।
यदि a बराबर b हो तो? शून्य-चौड़ाई वाले अंतराल पर समाकल 0 होता है, जिसे कैलकुलेटर सीधे लौटा देता है।
