이 계산기의 기능
이 도구는 유한 구간 [a, b]에서 함수 f(x)의 정적분을 합성 사다리꼴 공식으로 근사합니다. 주기성이 없는 해석적 피적분함수라면 무엇이든 적용할 수 있으며, 단위·통화·국가와 무관한 보편적인 수학이므로 어느 나라에서나 결과가 동일합니다. 함수와 적분의 하한·상한, 그리고 최대 분할 수를 입력하면, 계산기가 분할 수를 계속 두 배로 늘려 가며 근삿값을 정밀하게 다듬고 수렴해 가는 값의 흐름을 보여줍니다.
사용 방법
함수는 x에 대한 식으로 입력하세요. 연산자 + - * /, 거듭제곱(^ 또는 **), 그리고 sin, cos, tan, exp, log(자연로그), ln, sqrt, abs 같은 함수와 상수 pi, e를 사용할 수 있습니다. 적분 구간의 하한 \(a\)와 상한 \(b\)는 임의의 실수로 입력하면 되며, \(a > b\)인 경우 부호는 자동으로 처리됩니다. 최대 분할 수 \(N\)은 32부터 2048까지의 2의 거듭제곱 중에서 고르세요. 화면에 표시되는 결괏값 \(S\)는 가장 큰 \(N\)에서 계산된 사다리꼴 근삿값입니다.
공식 풀이
구간 [a, b]를 폭이 \(h = (b - a) / n\)인 \(n\)개의 동일한 조각으로 나눕니다. 사다리꼴 공식은 각 조각 위의 곡선을 직선으로 대체한 뒤, 그렇게 만들어진 사다리꼴들의 넓이를 모두 더합니다.
$$S(n) = \frac{h}{2}\cdot\left[ f(a) + 2\cdot\bigl(f(a+h) + f(a+2h) + \cdots + f(a+(n-1)h)\bigr) + f(b) \right]$$ 양 끝점에는 가중치 1이, 내부의 모든 분할점에는 가중치 2가 적용됩니다. 오차는 \(O(h^2)\)의 비율로 줄어들기 때문에, 매끄러운 함수에서는 \(n\)을 두 배로 늘릴 때마다 오차가 대략 4분의 1로 작아집니다.
예제로 살펴보기
구간 [0, 1]에서 \(f(x) = 4/(1+x^2)\)를 적분해 봅시다. 정확한 값은 \(\pi\)입니다. \(n = 2\), \(h = 0.5\)일 때 \(f(0)=4\), \(f(0.5)=3.2\), \(f(1)=2\)이므로 $$S = 0.25\cdot(4 + 2\cdot 3.2 + 2) = 3.1$$이 됩니다. \(n = 4\)이면 \(3.131176\), \(n = 8\)이면 \(3.138988\), \(n = 64\)이면 약 \(3.141552\)로, \(\pi = 3.14159265\ldots\)에 점점 가까워지는 것을 볼 수 있습니다.
자주 묻는 질문
결괏값이 정답과 조금 다른 이유는 무엇인가요? 사다리꼴 공식은 어디까지나 근사 방법입니다. 더 정밀한 값을 얻으려면 \(N\)을 키우세요. 수렴 표를 보면 값이 얼마나 빠르게 안정되는지 확인할 수 있습니다.
주기함수나 특이점이 있는 함수도 적분할 수 있나요? 이 방법은 매끄럽고 주기성이 없는 피적분함수를 전제로 합니다. 구간의 양 끝이나 내부에 특이점이 있으면 결과가 틀리거나 정의되지 않을 수 있으니, 그런 경우에는 전용 적분 방법을 사용하세요.
a와 b가 같으면 어떻게 되나요? 폭이 0인 구간의 적분값은 0이며, 계산기가 곧바로 0을 반환합니다.
