가우스 구적법 계산기란?
이 도구는 순수 수학 계산기로, 어느 나라에서나 동일하게 작동합니다. 사용자가 직접 선택한 가우스 구적법(Gaussian quadrature)을 이용해 정적분을 수치적으로 근사합니다. 가우스 구적법은 '노드(node)'라고 불리는 정교하게 선택된 몇 개의 점에서 피적분 함수를 계산한 뒤, 각 함숫값에 대응하는 가중치를 곱해 모두 더하는 방식입니다. \(n\)개의 점을 사용하면 차수 \(2n-1\) 이하의 다항식을 정확히 적분할 수 있어, 매끄러운 함수에 대해서는 사다리꼴 공식이나 심프슨 공식처럼 등간격 점을 쓰는 방법보다 훨씬 정확합니다.
사용 방법
먼저 구적법을 고르고, 점의 개수 \(n\)을 설정한 다음, 피적분 함수 \(f(x)\)를 표준 문법으로 입력합니다(+ - * / ^, 괄호, sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, pi, e 사용). 유한 구간 규칙의 경우 적분 한계 \(a\)와 \(b\)를 함께 입력하세요. 가중 함수 \(w(x)\)는 각 규칙에 이미 내장되어 있으므로, 매끄러운 부분인 \(f(x)\)만 입력하면 됩니다. 즉 가우스-라게르에서는 \(x^{\alpha} e^{-x}\) 인자를, 가우스-에르미트에서는 \(e^{-x^2}\) 을, 체비쇼프/야코비에서는 \((1-x^2)\) 가중치를 빼고 입력합니다. '유효 자릿수' 드롭다운은 표시되는 자릿수에만 영향을 줍니다.
공식
모든 규칙은 같은 형태를 가집니다. 표준 구간에서 \(w(x) f(x)\)의 적분은 \(w_i\) 와 \(f(x_i)\)의 곱을 모두 더한 값으로 근사되며, 여기서 노드 \(x_i\)는 해당 직교 다항식의 근이고 가중치 \(w_i\)는 골루브-웰시(Golub-Welsch) 가중치입니다.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$가중치가 1인 임의의 유한 구간 \([a,b]\)에서는, \([-1,1]\) 상의 표준 노드 \(t_i\)를 \(x_i = \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2}\) 로 변환하고 전체 합에 \(\frac{b-a}{2}\) 를 곱해 줍니다.
계산 예시
가우스-르장드르, \(n=20\), \(f(x)=\frac{4}{1+x^2}\), \(a=0\), \(b=1\)을 선택해 봅시다. 정확한 값은 \(4\arctan(1) = \pi = 3.14159265358979\) 입니다. 20점 르장드르 규칙은 노드를 \([0,1]\) 구간으로 변환하고 가중치를 \(\frac{1}{2}\) 배 한 뒤 \(3.141592653589793\) 을 반환하는데, 이는 배정밀도(double precision) 전 자릿수에서 \(\pi\)와 일치합니다. \(\frac{4}{1+x^2}\)가 기본 피적분 함수로 설정된 이유가 바로 이것입니다.
자주 묻는 질문
라게르나 에르미트에서 답이 이상하게 나오는 이유는? 이 규칙들은 \(e^{-x}\) 또는 \(e^{-x^2}\) 가중치를 이미 포함하고 있습니다. 따라서 전체 피적분 함수가 아니라 나머지 인자만 입력해야 합니다. 예를 들어 전 구간에서 \(e^{-x^2}\) 의 적분을 구하려면 \(f(x)=1\) 로 설정하면 되고, 결과는 \(\sqrt{\pi}\)가 됩니다.
alpha와 beta는 무엇인가요? \(\alpha\)는 라게르의 \(x^{\alpha}\) 가중치에 쓰이는 지수이자 야코비의 한쪽 지수이며, \(\beta\)는 야코비의 다른 쪽 지수입니다. 두 값 모두 \(-1\)보다 커야 하며, 그렇지 않으면 가중치 적분이 발산합니다.
점이 많을수록 항상 더 좋은가요? 매끄러운 함수에서는 \(n\)이 클수록 정확도가 높아집니다. 하지만 구간 안에 특이점이나 날카로운 봉우리가 있는 함수에서는 오히려 결과가 나빠질 수 있습니다. \(n\)을 조금씩 늘리면서 수렴 여부를 확인하세요.
