가우스 구적법 수치 적분 계산기

계산 입력

구적법 방식 가우스-르장드르 (w=1, [-1,1]) 체비쇼프 1종 (w=1/sqrt(1-x^2)) 체비쇼프 2종 (w=sqrt(1-x^2)) 가우스-라게르 (w=x^a e^-x, [0,inf)) 가우스-에르미트 (w=e^-x^2, (-inf,inf)) 가우스-야코비 (w=(1-x)^a(1+x)^b) 가우스-로바토 (w=1, 양 끝점 포함) 가우스-크론로드 (w=1, 르장드르 확장)

점 개수 / 분할 수 n 23456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

f(x)

적분 하한 a

적분 상한 b

alpha (Laguerre/Jacobi, >-1)

beta (Jacobi, >-1)

유효 자릿수 61014182226303438424650

결과

근사 적분값

3.1415926535897927

w_i * f(x_i)의 합

방식	legendre
점 개수 (n)	20
표시 자릿수	22

가우스 구적법 계산기란?

이 도구는 순수 수학 계산기로, 어느 나라에서나 동일하게 작동합니다. 사용자가 직접 선택한 가우스 구적법(Gaussian quadrature)을 이용해 정적분을 수치적으로 근사합니다. 가우스 구적법은 '노드(node)'라고 불리는 정교하게 선택된 몇 개의 점에서 피적분 함수를 계산한 뒤, 각 함숫값에 대응하는 가중치를 곱해 모두 더하는 방식입니다. \(n\)개의 점을 사용하면 차수 \(2n-1\) 이하의 다항식을 정확히 적분할 수 있어, 매끄러운 함수에 대해서는 사다리꼴 공식이나 심프슨 공식처럼 등간격 점을 쓰는 방법보다 훨씬 정확합니다.

사용 방법

먼저 구적법을 고르고, 점의 개수 \(n\)을 설정한 다음, 피적분 함수 \(f(x)\)를 표준 문법으로 입력합니다(+ - * / ^, 괄호, sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, pi, e 사용). 유한 구간 규칙의 경우 적분 한계 \(a\)와 \(b\)를 함께 입력하세요. 가중 함수 \(w(x)\)는 각 규칙에 이미 내장되어 있으므로, 매끄러운 부분인 \(f(x)\)만 입력하면 됩니다. 즉 가우스-라게르에서는 \(x^{\alpha} e^{-x}\) 인자를, 가우스-에르미트에서는 \(e^{-x^2}\) 을, 체비쇼프/야코비에서는 \((1-x^2)\) 가중치를 빼고 입력합니다. '유효 자릿수' 드롭다운은 표시되는 자릿수에만 영향을 줍니다.

공식

모든 규칙은 같은 형태를 가집니다. 표준 구간에서 \(w(x) f(x)\)의 적분은 \(w_i\) 와 \(f(x_i)\)의 곱을 모두 더한 값으로 근사되며, 여기서 노드 \(x_i\)는 해당 직교 다항식의 근이고 가중치 \(w_i\)는 골루브-웰시(Golub-Welsch) 가중치입니다.

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$

가중치가 1인 임의의 유한 구간 \([a,b]\)에서는, \([-1,1]\) 상의 표준 노드 \(t_i\)를 \(x_i = \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2}\) 로 변환하고 전체 합에 \(\frac{b-a}{2}\) 를 곱해 줍니다.

가우스 구적법은 최적으로 배치된 노드 \(x_i\)와 가중치 \(w_i\)를 사용해 \(f(x)\) 아래 면적을 근사합니다.

계산 예시

가우스-르장드르, \(n=20\), \(f(x)=\frac{4}{1+x^2}\), \(a=0\), \(b=1\)을 선택해 봅시다. 정확한 값은 \(4\arctan(1) = \pi = 3.14159265358979\) 입니다. 20점 르장드르 규칙은 노드를 \([0,1]\) 구간으로 변환하고 가중치를 \(\frac{1}{2}\) 배 한 뒤 \(3.141592653589793\) 을 반환하는데, 이는 배정밀도(double precision) 전 자릿수에서 \(\pi\)와 일치합니다. \(\frac{4}{1+x^2}\)가 기본 피적분 함수로 설정된 이유가 바로 이것입니다.

노드가 많을수록(차수 \(n\)이 높을수록) 구간 양 끝에 몰리며 정확도가 높아집니다.

자주 묻는 질문

라게르나 에르미트에서 답이 이상하게 나오는 이유는? 이 규칙들은 \(e^{-x}\) 또는 \(e^{-x^2}\) 가중치를 이미 포함하고 있습니다. 따라서 전체 피적분 함수가 아니라 나머지 인자만 입력해야 합니다. 예를 들어 전 구간에서 \(e^{-x^2}\) 의 적분을 구하려면 \(f(x)=1\) 로 설정하면 되고, 결과는 \(\sqrt{\pi}\)가 됩니다.

alpha와 beta는 무엇인가요? \(\alpha\)는 라게르의 \(x^{\alpha}\) 가중치에 쓰이는 지수이자 야코비의 한쪽 지수이며, \(\beta\)는 야코비의 다른 쪽 지수입니다. 두 값 모두 \(-1\)보다 커야 하며, 그렇지 않으면 가중치 적분이 발산합니다.

점이 많을수록 항상 더 좋은가요? 매끄러운 함수에서는 \(n\)이 클수록 정확도가 높아집니다. 하지만 구간 안에 특이점이나 날카로운 봉우리가 있는 함수에서는 오히려 결과가 나빠질 수 있습니다. \(n\)을 조금씩 늘리면서 수렴 여부를 확인하세요.