什么是高斯求积法计算器？
这是一款纯数学工具（在任何国家用法都完全一致），它会根据你所选的高斯求积规则，对定积分进行数值近似计算。高斯求积法的核心思路是：在一组经过精心选取的点（称为节点）上计算被积函数的取值，再分别乘以对应的权重，最后求和。使用 \(n\) 个节点时，它能对次数不超过 \(2n-1\) 的多项式进行精确积分，因此对于光滑函数而言，其精度远高于梯形法、辛普森法等等距节点方法。
如何使用
先选择一种求积方法，设定节点数 \(n\)，然后用标准语法输入被积函数 \(f(x)\)（支持 + - * / ^、括号，以及 sin、cos、tan、exp、log、ln、sqrt、abs、pi、e）。对于定限规则，还需填写积分上下限 \(a\) 和 \(b\)。权重函数 \(w(x)\) 已内置在每种规则中，因此只需输入 \(f(x)\) 的光滑部分即可：使用高斯-拉盖尔法时省略 \(x^{\alpha} e^{-x}\) 因子，使用高斯-埃尔米特法时省略 \(e^{-x^2}\)，使用切比雪夫/雅可比法时省略 \((1-x^2)\) 权重。"有效数字"下拉框只影响结果的显示位数，不影响计算本身。
计算公式
所有规则都遵循同一种形式：在标准区间上，\(w(x) f(x)\) 的积分被近似为各项 \(w_i\) 乘以 \(f(x_i)\) 之和，其中节点 \(x_i\) 是相应正交多项式的根，权重 \(w_i\) 则为 Golub-Welsch 权重。对于权重为 1 的任意有限区间 \([a,b]\)，标准节点 \(t_i\)（位于 \([-1,1]\) 内）通过下式映射过去
$$x_i = \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2}$$整个求和结果再乘以 \(\frac{b-a}{2}\) 缩放即可。
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$
实例演示
选择高斯-勒让德法，\(n=20\)，\(f(x)=4/(1+x^2)\)，\(a=0\)，\(b=1\)。其精确值为 \(4\arctan(1) = \pi = 3.14159265358979\)。20 点勒让德规则会将节点映射到 \([0,1]\)，权重按 \(1/2\) 缩放，最终返回 \(3.141592653589793\)——在双精度范围内与 \(\pi\) 完全一致。这也正是默认被积函数取 \(4/(1+x^2)\) 的原因。
常见问题
为什么用拉盖尔法或埃尔米特法时结果看起来不对？这两种规则本身已经包含了 \(e^{-x}\) 或 \(e^{-x^2}\) 权重，所以你只需输入剩余的那部分因子，而不是完整的被积函数。例如要计算 \(e^{-x^2}\) 在整条实轴上的积分，只需令 \(f(x)=1\)，结果即为 \(\sqrt{\pi}\)。
\(\alpha\) 和 \(\beta\) 是做什么用的？\(\alpha\) 是拉盖尔权重 \(x^{\alpha}\) 中的指数，同时也是雅可比的其中一个指数；\(\beta\) 则是雅可比的另一个指数。两者都必须大于 \(-1\)，否则权重积分会发散。
节点越多就越准吗？对于光滑函数，增大 \(n\) 确实能提高精度；但如果函数在区间内存在奇点或尖锐峰值，增大 \(n\) 反而可能适得其反。建议逐步增加 \(n\)，并留意结果是否收敛。
