Gauss Kuadratürü Hesaplama Aracı nedir?
Bu, tamamen matematiksel bir araçtır (her ülkede aynı şekilde çalışır) ve seçtiğiniz bir Gauss kuadratürü kuralıyla belirli bir integrali sayısal olarak yaklaşık hesaplar. Gauss kuadratürü, integrand fonksiyonu düğüm (node) adı verilen, akıllıca seçilmiş az sayıda noktada değerlendirir, her değeri eşleşen bir ağırlıkla çarpar ve hepsini toplar. \(n\) nokta ile \(2n-1\) dereceye kadar olan polinomları tam olarak integre eder; bu da onu, düzgün fonksiyonlar için yamuk (trapez) ya da Simpson gibi eşit aralıklı yöntemlerden çok daha hassas kılar.
Nasıl kullanılır?
Bir kuadratür yöntemi seçin, \(n\) nokta sayısını belirleyin, integrand \(f(x)\) ifadesini standart söz dizimiyle yazın (+ - * / ^, parantezler, sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, pi, e) ve sonlu kurallar için \(a\) ile \(b\) sınırlarını girin. Ağırlık fonksiyonu \(w(x)\) her kurala zaten gömülüdür; bu yüzden yalnızca düzgün kısım \(f(x)\)'i girin: Gauss-Laguerre için \(x^{\alpha} e^{-x}\) çarpanını, Gauss-Hermite için \(e^{-x^2}\) çarpanını, Chebyshev/Jacobi için ise \((1-x^2)\) ağırlığını yazmayın. Anlamlı basamak menüsü yalnızca kaç basamağın gösterileceğini değiştirir.
Formül
Her kuralın yapısı aynıdır: \(w(x) f(x)\) ifadesinin kanonik aralıktaki integrali, \(w_i\) ile \(f(x_i)\) çarpımlarının toplamıyla yaklaşık olarak hesaplanır; burada \(x_i\) düğümleri ilgili ortogonal polinomun kökleridir ve \(w_i\) ağırlıkları Golub-Welsch ağırlıklarıdır. Ağırlığı 1 olan herhangi bir sonlu \([a,b]\) aralığı için, \([-1,1]\) aralığındaki kanonik düğümler \(t_i\), $$x_i = \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2}$$ dönüşümüyle eşlenir ve toplamın tamamı \(\frac{b-a}{2}\) ile ölçeklenir.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$
Çözümlü örnek
Gauss-Legendre, \(n=20\), \(f(x)=\frac{4}{1+x^2}\), \(a=0\), \(b=1\) seçin. Tam değer \(4\arctan(1) = \pi = 3.14159265358979\)'dur. 20 noktalı Legendre kuralı düğümleri \([0,1]\) aralığına eşler, ağırlıkları \(\frac{1}{2}\) ile ölçekler ve \(3.141592653589793\) sonucunu verir — \(\pi\) ile tam çift hassasiyette (double precision) örtüşür. İşte bu nedenle \(\frac{4}{1+x^2}\) varsayılan integranddır.
Sıkça sorulan sorular
Laguerre veya Hermite için sonucum neden yanlış görünüyor? Bu kurallar \(e^{-x}\) ya da \(e^{-x^2}\) ağırlığını zaten içerir; integrandın tamamını değil, yalnızca geriye kalan çarpanı girin. Örneğin \(e^{-x^2}\) ifadesinin tüm sayı doğrusu üzerindeki integralini almak için \(f(x)=1\) yazın; bu, \(\sqrt{\pi}\) sonucunu verir.
alpha ve beta ne işe yarar? \(\alpha\), Laguerre \(x^{\alpha}\) ağırlığındaki üssü ve bir Jacobi üssünü temsil eder; \(\beta\) ise diğer Jacobi üssüdür. İkisi de \(-1\)'den büyük olmalıdır, aksi takdirde ağırlık integrali ıraksar.
Daha fazla nokta her zaman işe yarar mı? Düzgün fonksiyonlarda \(n\)'i artırmak hassasiyeti iyileştirir, ancak aralık içinde tekillikleri veya keskin tepe noktaları olan fonksiyonlarda durumu kötüleştirebilir. \(n\)'i kademeli olarak artırın ve yakınsamayı takip edin.
