ما هي حاسبة التربيع الغاوسي؟
هذه أداة رياضية بحتة (تعمل بالطريقة نفسها في كل بلد) تُقرّب قيمة تكامل محدد عددياً باستخدام قاعدة تربيع غاوسي تختارها أنت. تعتمد فكرة التربيع الغاوسي على حساب قيمة الدالة المُكاملة عند مجموعة صغيرة من النقاط المختارة بذكاء وتُسمى العُقَد (nodes)، ثم ضرب كل قيمة في وزن (weight) مناسب لها، وجمع النواتج. وباستخدام \(n\) نقطة فقط، تكامل كثيرات الحدود حتى الدرجة \(2n-1\) بدقة تامة، مما يجعلها أدق بكثير من الطرق ذات النقاط المتساوية البعد مثل قاعدة شبه المنحرف أو قاعدة سيمبسون عند التعامل مع الدوال الملساء.
كيفية الاستخدام
اختر طريقة التربيع، حدّد عدد النقاط \(n\)، واكتب الدالة المُكاملة \(f(x)\) بالصيغة المعتادة (+ - * / ^، الأقواس، sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, pi, e)، وفي القواعد المحدودة أدخل الحدّين \(a\) و\(b\). دالة الوزن \(w(x)\) مُضمّنة أصلاً في كل قاعدة، لذا أدخل فقط الجزء الأملس \(f(x)\): ففي طريقة غاوس-لاغير احذف العامل \(x^{\alpha} e^{-x}\)، وفي غاوس-هيرميت احذف \(e^{-x^2}\)، وفي تشيبيشيف/جاكوبي احذف وزن \((1-x^2)\). أما قائمة "الأرقام المعنوية" فهي تتحكم فقط في عدد الأرقام المعروضة في النتيجة.
المعادلة
تتبع جميع القواعد الشكل نفسه: تكامل \(w(x) f(x)\) على الفترة القياسية يُقرّب بمجموع حدود \(w_i\) مضروبة في \(f(x_i)\)، حيث العُقَد \(x_i\) هي جذور كثيرة الحدود المتعامدة المناسبة، والأوزان \(w_i\) هي أوزان غولوب-ويلش (Golub-Welsch). وعند التعامل مع فترة محدودة عشوائية \([a,b]\) بوزن يساوي 1، تُحوَّل العُقَد القياسية \(t_i\) الواقعة في \([-1,1]\) عبر العلاقة
$$x_i = \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2}$$ويُضرب المجموع كله في المعامل \(\frac{b-a}{2}\).
مثال تطبيقي
اختر طريقة غاوس-لوجاندر، \(n=20\)، \(f(x)=\frac{4}{1+x^2}\)، \(a=0\)، \(b=1\). القيمة الدقيقة هي
$$4\arctan(1) = \pi = 3.14159265358979$$تقوم قاعدة لوجاندر ذات الـ20 نقطة بتحويل العُقَد إلى الفترة \([0,1]\)، وتضرب الأوزان في \(\frac{1}{2}\)، فتُعيد القيمة \(3.141592653589793\) — وهي مطابقة لـ \(\pi\) بكامل دقة الفاصلة العائمة المزدوجة. ولهذا السبب اختيرت الدالة \(\frac{4}{1+x^2}\) كدالة افتراضية.
الأسئلة الشائعة
لماذا تبدو نتيجتي خاطئة مع طريقتي لاغير أو هيرميت؟ هاتان القاعدتان تتضمنان بالفعل الوزن \(e^{-x}\) أو \(e^{-x^2}\)؛ لذا أدخل فقط العامل المتبقي وليس الدالة الكاملة. فمثلاً، للحصول على تكامل \(e^{-x^2}\) على كامل المحور، اضبط \(f(x)=1\)، فتكون النتيجة \(\sqrt{\pi}\).
ما وظيفة \(\alpha\) و\(\beta\)؟ القيمة \(\alpha\) هي الأُس في وزن لاغير \(x^{\alpha}\) وأحد أُسّي جاكوبي؛ أما \(\beta\) فهي الأُس الآخر في جاكوبي. ويجب أن تكون كلتاهما أكبر من \(-1\)، وإلا تباعد تكامل الوزن.
هل زيادة عدد النقاط مفيدة دائماً؟ بالنسبة للدوال الملساء، يحسّن رفع قيمة \(n\) الدقة، لكن مع الدوال التي تحتوي على نقاط شاذة (singularities) أو قمم حادة داخل الفترة قد يأتي بنتيجة عكسية. لذا زِد \(n\) تدريجياً وراقب تقارب النتائج.
