Qu'est-ce que le calculateur de quadrature de Gauss ?
Il s'agit d'un outil purement mathématique (il fonctionne de façon identique dans tous les pays) qui calcule une approximation numérique d'une intégrale définie à l'aide d'une règle de quadrature de Gauss que vous choisissez. La quadrature de Gauss évalue la fonction à intégrer en un petit nombre de points astucieusement choisis, appelés nœuds, multiplie chaque valeur par un poids correspondant, puis fait la somme. Avec \(n\) points, elle intègre exactement les polynômes jusqu'au degré \(2n-1\), ce qui la rend bien plus précise que les méthodes à pas constant comme la règle des trapèzes ou celle de Simpson pour les fonctions régulières.
Comment l'utiliser
Choisissez une méthode de quadrature, fixez le nombre de points \(n\), saisissez la fonction \(f(x)\) avec la syntaxe usuelle (+ - * / ^, parenthèses, sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, pi, e) et, pour les règles à intervalle fini, indiquez les bornes \(a\) et \(b\). La fonction de poids \(w(x)\) est intégrée à chaque règle : ne saisissez donc que la partie régulière \(f(x)\). Pour Gauss-Laguerre, omettez le facteur \(x^{\alpha} e^{-x}\) ; pour Gauss-Hermite, omettez \(e^{-x^2}\) ; et pour Tchebychev/Jacobi, omettez le poids \(1-x^2\). Le menu déroulant Chiffres significatifs ne modifie que le nombre de chiffres affichés.
La formule
Toutes les règles ont la même forme : l'intégrale de \(w(x) f(x)\) sur l'intervalle canonique est approchée par la somme des \(w_i\) fois \(f(x_i)\), où les nœuds \(x_i\) sont les racines du polynôme orthogonal correspondant et les \(w_i\) les poids de Golub-Welsch. Pour un intervalle fini quelconque \([a,b]\) avec poids 1, les nœuds canoniques \(t_i\) de \([-1,1]\) sont transformés par $$x_i = \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2}$$ et l'ensemble de la somme est multiplié par \(\frac{b-a}{2}\).
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$
Exemple détaillé
Choisissez Gauss-Legendre, \(n=20\), \(f(x)=\frac{4}{1+x^2}\), \(a=0\), \(b=1\). La valeur exacte vaut $$4\arctan(1) = \pi = 3{,}14159265358979.$$ La règle de Legendre à 20 points transpose les nœuds dans \([0,1]\), multiplie les poids par \(\frac{1}{2}\) et renvoie \(3{,}141592653589793\) — soit \(\pi\) à la précision double maximale. C'est pourquoi \(\frac{4}{1+x^2}\) est la fonction proposée par défaut.
FAQ
Pourquoi mon résultat semble-t-il faux avec Laguerre ou Hermite ? Ces règles incluent déjà le poids \(e^{-x}\) ou \(e^{-x^2}\) ; ne saisissez que le facteur restant, et non la fonction complète. Par exemple, pour obtenir l'intégrale de \(e^{-x^2}\) sur toute la droite réelle, posez \(f(x)=1\), ce qui donne \(\sqrt{\pi}\).
À quoi servent \(\alpha\) et \(\beta\) ? \(\alpha\) est l'exposant du poids \(x^{\alpha}\) de Laguerre et l'un des exposants de Jacobi ; \(\beta\) est le second exposant de Jacobi. Les deux doivent être supérieurs à \(-1\), faute de quoi l'intégrale du poids diverge.
Davantage de points donne-t-il toujours un meilleur résultat ? Pour les fonctions régulières, augmenter \(n\) améliore la précision, mais pour des fonctions présentant des singularités ou des pics marqués dans l'intervalle, cela peut au contraire nuire. Augmentez \(n\) progressivement et surveillez la convergence.
