高斯求積分數值積分計算器

輸入計算

求積分方法 Gauss-Legendre（w=1，[-1,1]） 第一類 Chebyshev（w=1/sqrt(1-x^2)） 第二類 Chebyshev（w=sqrt(1-x^2)） Gauss-Laguerre（w=x^a e^-x，[0,inf)） Gauss-Hermite（w=e^-x^2，(-inf,inf)） Gauss-Jacobi（w=(1-x)^a(1+x)^b） Gauss-Lobatto（w=1，含端點） Gauss-Kronrod（w=1，延伸 Legendre）

節點數／分割數 n 23456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

f(x)

下限 a

上限 b

alpha (Laguerre/Jacobi, >-1)

beta (Jacobi, >-1)

有效位數 61014182226303438424650

結果

積分近似值

3.1415926535897927

w_i * f(x_i) 的總和

方法	legendre
節點數 (n)	20
顯示位數	22

什麼是高斯求積分計算器？

這是一套純數學工具（在任何國家的運算結果都完全相同），可依您所選的高斯求積分規則，以數值方法近似計算定積分。高斯求積分會在一組經過精心挑選、稱為「節點」的位置上計算被積函數值，再將每個函數值乘上對應的「權重」後加總。使用 \(n\) 個節點時，它能對次數最高達 \(2n-1\) 的多項式進行精確積分，因此對於平滑函數而言，遠比梯形法、辛普森法等等距取點的方法準確得多。

如何使用

先選擇一種求積分方法，設定節點數 \(n\)，再以標準語法輸入被積函數 \(f(x)\)（支援 + - * / ^、括號、sin、cos、tan、exp、log、ln、sqrt、abs、pi、e）；若使用有限區間的規則，請另外輸入上下限 \(a\) 與 \(b\)。權重函數 \(w(x)\) 已內建於各規則中，因此您只需輸入平滑的部分 \(f(x)\)：使用 Gauss-Laguerre 時請省略 \(x^{\alpha} e^{-x}\) 因子，使用 Gauss-Hermite 時省略 \(e^{-x^2}\)，使用 Chebyshev／Jacobi 時則省略 \((1-x^2)\) 權重。「有效位數」下拉選單僅會影響結果顯示的位數。

計算公式

每一種規則的形式都相同：在標準區間上對 \(w(x) f(x)\) 的積分，會以 \(w_i\) 乘以 \(f(x_i)\) 的總和來近似，其中節點 \(x_i\) 是對應正交多項式的根，而 \(w_i\) 則是 Golub-Welsch 權重。對於權重為 1 的任意有限區間 \([a,b]\)，\([-1,1]\) 上的標準節點 \(t_i\) 會透過下式映射，整個總和再乘上 \(\frac{b-a}{2}\) 進行縮放。

$$x_i = \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2}$$

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$

高斯求積透過權重 \(w_i\) 與最佳放置的節點 \(x_i\) 來近似 \(f(x)\) 下方的面積。

實際範例

選擇 Gauss-Legendre、\(n=20\)、\(f(x)=\frac{4}{1+x^2}\)、\(a=0\)、\(b=1\)。精確值為 \(4\arctan(1) = \pi = 3.14159265358979\)。20 點的 Legendre 規則會將節點映射到 \([0,1]\)，把權重縮放 \(\frac{1}{2}\) 倍，最後得到 \(3.141592653589793\)——與 \(\pi\) 在雙精度下完全吻合。這正是本計算器將 \(\frac{4}{1+x^2}\) 設為預設被積函數的原因。

節點越多（階數 \(n\) 越高），越向區間兩端聚集，精度也越高。

常見問題

為什麼用 Laguerre 或 Hermite 算出來的答案看起來不對？這兩種規則已內含 \(e^{-x}\) 或 \(e^{-x^2}\) 權重；請只輸入剩餘的因子，而非完整的被積函數。例如要計算 \(e^{-x^2}\) 在整條實數線上的積分，請設定 \(f(x)=1\)，即可得到 \(\sqrt{\pi}\)。

alpha 和 beta 的作用是什麼？\(\alpha\) 是 Laguerre 權重 \(x^{\alpha}\) 的指數，同時也是 Jacobi 的其中一個指數；\(\beta\) 則是 Jacobi 的另一個指數。兩者都必須大於 \(-1\)，否則權重積分會發散。

節點越多一定越好嗎？對於平滑函數，提高 \(n\) 會改善準確度；但若函數在區間內存在奇異點或尖銳峰值，反而可能變差。請逐步增加 \(n\)，並留意收斂情況。