這個計算器能做什麼
本工具會用三種經典的複合數值積分公式，近似函數 \(f(x)\) 在有限區間 \([a, b]\) 上的定積分：梯形法（Trapezoidal Rule）、中點法（Midpoint Rule）與辛普森法（Simpson's Rule）。它不只給你單一答案，而是依序以 2、4、8、16……（每次加倍）的細分數計算每種方法，直到你設定的最大值 \(N\)，並列出一張收斂表，讓你親眼看到估算值如何逐漸穩定，自行判斷精確度。
使用方式
請以變數 \(x\) 輸入被積分函數的數學式（例如 4/(1+x^2) 或 sin(x)*exp(-x)）。支援的運算子有 + - * / ^ 及括號，另外也支援常見函數如 sin、cos、tan、exp、log/ln、sqrt、abs，以及常數 pi 和 e。設定下限 \(a\) 與上限 \(b\)，選擇最大細分數 \(N\)（須為 2 的次方），再決定顯示位數。表頭主要呈現的數字是 \(n = N\) 時的辛普森估算值，因為它通常收斂最快。
公式說明
當分成 \(n\) 個子區間時，步長為 \(h = (b - a)/n\)，節點為 \(x_i = a + i\,h\)。梯形法將各點函數值相加，並把兩端點各取一半權重；中點法則取每個子區間中央的函數值；辛普森法以 1、4、2、4、……、4、1 的權重將兩者結合，對三次多項式可得到精確結果，誤差為 \(h^4\) 階，而另外兩種方法則為 \(h^2\) 階。
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{odd}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{even}} f(x_i) + f(x_N) \right]$$其中
$$\left\{ \begin{aligned} f(x) &= \text{f(x)} \\ a &= \text{Lower limit} \\ b &= \text{Upper limit} \\ N &= \text{Subdivisions} \\ h &= \frac{b-a}{N}, \quad x_i = a + i\,h \end{aligned} \right.$$
實例演算
以 \(f(x) = 4/(1+x^2)\) 在 \([0, 1]\) 上為例，精確積分值為 \(\pi = 3.14159265\ldots\)。當 \(n = 4\)、\(h = 0.25\) 時，梯形法估算約為 \(3.131176\)，中點法約為 \(3.146801\)，辛普森法約為 \(3.141569\)——已準確到小數第五位。隨著 \(n\) 增大，三種方法都會逐漸逼近 \(\pi\)。
常見問題
為什麼 \(N\) 一定要是 2 的次方？每次將細分數加倍，能讓你輕鬆比較相鄰各列，同時也保證辛普森法所需的偶數子區間數成立。
哪些函數不適用？收斂表假設被積分函數是平滑（解析）且非週期性的。若 \([a, b]\) 內含奇異點（例如 \(1/x\) 跨過 0），會產生無限大或無意義的結果。
若 \(a\) 等於 \(b\)，或 \(a\) 大於 \(b\) 會怎樣？當 \(a = b\) 時積分為 0；當 \(a > b\) 時，結果為在 \([b, a]\) 上積分的帶號（負）值。
