Công cụ này làm gì
Công cụ này tính gần đúng tích phân xác định của hàm số f(x) trên một khoảng hữu hạn [a, b] bằng ba quy tắc cầu phương kép kinh điển: quy tắc Hình thang, quy tắc Trung điểm và quy tắc Simpson. Thay vì chỉ trả về một con số duy nhất, công cụ sẽ áp dụng từng quy tắc với số khoảng chia là 2, 4, 8, 16, ... — tăng gấp đôi mỗi lần cho tới số tối đa N mà bạn chọn — rồi in ra một bảng hội tụ để bạn theo dõi các giá trị ước lượng dần ổn định và tự đánh giá độ chính xác.
Cách sử dụng
Nhập hàm cần tích phân dưới dạng biểu thức toán học theo biến x (ví dụ 4/(1+x^2) hoặc sin(x)*exp(-x)). Các phép toán được hỗ trợ gồm + - * / ^ cùng dấu ngoặc, các hàm thông dụng như sin, cos, tan, exp, log/ln, sqrt và abs, cũng như các hằng số pi và e. Hãy đặt cận dưới a, cận trên b, chọn số khoảng chia tối đa N (là lũy thừa của 2) và số chữ số thập phân muốn hiển thị. Giá trị nổi bật là ước lượng theo quy tắc Simpson tại n = N, vì quy tắc này thường hội tụ nhanh nhất.
Giải thích các công thức
Với n khoảng con, bước chia là \(h = \frac{b-a}{n}\) và các nút là \(x_i = a + i\,h\). Quy tắc Hình thang cộng các giá trị hàm số với hai điểm đầu mút được nhân trọng số một nửa. Quy tắc Trung điểm lấy giá trị tại tâm của mỗi khoảng con. Quy tắc Simpson kết hợp cả hai với các trọng số 1, 4, 2, 4, ..., 4, 1, cho kết quả chính xác tuyệt đối với đa thức bậc ba và có sai số bậc \(h^4\), so với \(h^2\) của hai quy tắc còn lại.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{odd}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{even}} f(x_i) + f(x_N) \right]$$
Ví dụ minh họa
Với \(f(x) = \frac{4}{1+x^2}\) trên [0, 1], tích phân chính xác bằng \(\pi = 3{,}14159265\ldots\) Khi \(n = 4\) và \(h = 0{,}25\), ước lượng theo quy tắc Hình thang vào khoảng \(3{,}131176\), theo quy tắc Trung điểm khoảng \(3{,}146801\), còn theo quy tắc Simpson khoảng \(3{,}141569\) — đã chính xác tới năm chữ số thập phân. Khi n tăng lên, cả ba giá trị đều tiến dần về \(\pi\).
Câu hỏi thường gặp
Tại sao N phải là lũy thừa của 2? Việc tăng gấp đôi số khoảng chia giúp bạn dễ dàng so sánh các hàng liên tiếp và đảm bảo số khoảng luôn chẵn — điều kiện cần cho quy tắc Simpson.
Những hàm số nào không phù hợp? Bảng hội tụ giả định hàm cần tích phân là hàm trơn (giải tích) và không tuần hoàn. Những hàm có điểm kỳ dị bên trong [a, b], chẳng hạn \(\frac{1}{x}\) đi qua 0, sẽ cho ra giá trị vô cực hoặc kết quả vô nghĩa.
Nếu a bằng b, hoặc a lớn hơn b thì sao? Nếu \(a = b\) thì tích phân bằng 0. Nếu \(a > b\) thì kết quả là giá trị có dấu (âm) của tích phân trên [b, a].
