ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بتقريب التكامل المحدد لدالة \(f(x)\) على فترة منتهية \([a، b]\) باستخدام ثلاث قواعد تربيعية مركّبة كلاسيكية: قاعدة شبه المنحرف، وقاعدة نقطة المنتصف، وقاعدة سيمبسون. وبدلاً من إعطاء رقم واحد فقط، فإنها تحسب كل قاعدة عند أعداد تقسيمات تساوي 2 ثم 4 ثم 8 ثم 16... بحيث يتضاعف العدد في كل مرة حتى تبلغ القيمة العظمى \(N\) التي تختارها، ثم تعرض جدول تقارب يتيح لك مراقبة استقرار النتائج وتقدير الدقة بنفسك.
طريقة الاستخدام
أدخل الدالة المراد تكاملها كعبارة رياضية بالمتغير \(x\) (مثل 4/(1+x^2) أو sin(x)*exp(-x)). والعمليات المدعومة هي + - * / ^ مع الأقواس، إضافة إلى الدوال الشائعة مثل sin وcos وtan وexp وlog/ln وsqrt وabs، والثابتين pi وe. حدّد الحد الأدنى \(a\) والحد الأعلى \(b\)، واختر العدد الأقصى للتقسيمات \(N\) (وهو من قوى الاثنين)، ثم اختر عدد المنازل المراد عرضها. والقيمة الرئيسية المعروضة هي تقدير سيمبسون عند \(n = N\)، لأنه عادةً ما يتقارب بأسرع وتيرة.
شرح الصيغ
عند تقسيم الفترة إلى \(n\) جزءاً تكون الخطوة \(h = (b - a)/n\) وتكون النقاط \(x_i = a + i\,h\). تجمع قاعدة شبه المنحرف قيم الدالة مع منح النقطتين الطرفيتين نصف الوزن. وتأخذ قاعدة نقطة المنتصف عينة من مركز كل فترة جزئية. أما قاعدة سيمبسون فتمزج بينهما بأوزان 1، 4، 2، 4، ...، 4، 1 وهي دقيقة تماماً مع كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة، إذ يكون خطؤها من رتبة \(h^4\) مقابل \(h^2\) للقاعدتين الأخريين.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{odd}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{even}} f(x_i) + f(x_N) \right]$$
مثال محلول
بالنسبة إلى الدالة \(f(x) = 4/(1+x^2)\) على الفترة \([0، 1]\) يساوي التكامل الدقيق \(\pi = 3.14159265\ldots\) فعند \(n = 4\) و\(h = 0.25\) يبلغ تقدير شبه المنحرف نحو \(3.131176\)، وتقدير نقطة المنتصف نحو \(3.146801\)، وتقدير سيمبسون نحو \(3.141569\) — أي دقيق حتى خمس منازل عشرية. وكلما زادت قيمة \(n\) اقتربت التقديرات الثلاثة جميعها من \(\pi\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون N من قوى الاثنين؟ مضاعفة عدد التقسيمات تسهّل مقارنة الصفوف المتتالية، وتضمن عدداً زوجياً تتطلبه قاعدة سيمبسون.
ما الدوال الخارجة عن نطاق الأداة؟ يفترض جدول التقارب أن الدالة ملساء (تحليلية) وغير دورية. أما الدوال التي تحتوي على نقاط شذوذ داخل الفترة \([a، b]\)، مثل \(1/x\) عند الصفر، فستنتج عنها قيم لا نهائية أو نتائج عديمة المعنى.
ماذا لو كانت a تساوي b، أو كانت a أكبر من b؟ إذا كانت \(a = b\) فإن قيمة التكامل تساوي 0. وإذا كانت \(a > b\) فإن النتيجة هي القيمة المُشارة (السالبة) للتكامل على الفترة \([b، a]\).
