ما هو تشابه جيب التمام؟
يقيس تشابه جيب التمام (Cosine Similarity) مدى تطابق متجهين اعتماداً على الزاوية المحصورة بينهما، لا على حجمهما أو طولهما. وتتراوح قيمته بين −1 و1، حيث تعني القيمة 1 أن المتجهين يشيران إلى الاتجاه نفسه تماماً، والقيمة 0 أنهما متعامدان (لا علاقة بينهما)، أما −1 فتعني أنهما يشيران إلى اتجاهين متضادين. ويُستخدم هذا المقياس على نطاق واسع في التنقيب عن النصوص، وأنظمة التوصية، واسترجاع المعلومات، وتعلّم الآلة، وذلك لمقارنة المستندات أو التمثيلات الرقمية (embeddings) أو متجهات الخصائص.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل مكوّنات المتجه A والمتجه B كأرقام مفصولة بفواصل. يجب أن يحتوي المتجهان على العدد نفسه من الأبعاد (وإذا اختلفا، تعتمد الحاسبة الطول الأقصر منهما). ثم اضغط على زر الحساب لتظهر لك قيمة تشابه جيب التمام، وحاصل الضرب القياسي، ومقدار كل متجه، إضافةً إلى الزاوية بين المتجهين مقدّرةً بالدرجات.
شرح المعادلة
تشابه جيب التمام هو حاصل الضرب القياسي للمتجهين مقسوماً على حاصل ضرب مقداريهما الإقليديين (أي طوليهما):
$$\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\lVert \vec{A} \rVert \, \lVert \vec{B} \rVert} = \frac{\sum_{i=1}^{n} A_i B_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} A_i^{2}} \; \sqrt{\sum_{i=1}^{n} B_i^{2}}}$$حاصل الضرب القياسي \(\vec{A} \cdot \vec{B}\) هو مجموع جداء العناصر المتقابلة. أما المقدار \(\lVert \vec{A} \rVert\) فهو الجذر التربيعي لمجموع مربعات المكوّنات. والقسمة على المقادير تُطبّع النتيجة بحيث تعتمد على الاتجاه فقط لا على الطول.
مثال محلول
لنفترض أن \(A = [1, 2, 3]\) وأن \(B = [4, 5, 6]\). يكون حاصل الضرب القياسي:
$$1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32$$أما مقدار A فهو \(\sqrt{1+4+9} = \sqrt{14} \approx 3.7417\)، ومقدار B هو \(\sqrt{16+25+36} = \sqrt{77} \approx 8.7750\). وعليه يكون
$$\cos\theta = \frac{32}{3.7417 \times 8.7750} \approx \frac{32}{32.8329} \approx 0.9746$$وهو ما يقابل زاوية تساوي نحو \(12.93°\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون النتيجة سالبة؟ نعم. فإذا أشار المتجهان إلى اتجاهين متعاكسين تقريباً، تكون قيمة التشابه سالبة، وقد تصل إلى −1 في حالة التعاكس التام.
ماذا لو اختلف طولا المتجهين؟ تقارن الحاسبة الأبعاد المشتركة فقط (أي بطول المتجه الأقصر). وللحصول على نتائج ذات معنى، يُفضَّل استخدام متجهين متساويين في عدد الأبعاد.
ما الفرق بين هذا المقياس والمسافة الإقليدية؟ يتجاهل تشابه جيب التمام الحجم ويركّز على الاتجاه، فيكون المتجهان اللذان يشيران إلى الاتجاه نفسه متطابقين تماماً حتى لو كان أحدهما أطول بكثير من الآخر.
