حاسبة تكامل فرينل لجيب التمام

أدخل الحساب

x (الحد الأعلى للتكامل)

نتائج

تكامل فرينل لجيب التمام C(x)

٠٫٧٧٩٨٩٣٤٠٠٤

عديم الأبعاد

التعريف	C(x) = التكامل من 0 إلى x للمقدار cos(pi*t^2/2) dt
الطريقة	Composite Simpson's rule (asymptotic for |x| > 100)
النهاية	تتقارب C(x) نحو ±0.5 عندما تتجه x نحو ما لا نهاية ±

ما هو تكامل فرينل لجيب التمام؟

تكامل فرينل لجيب التمام \(C(x)\) هو دالة خاصة تُعرَّف بأنها التكامل من 0 إلى \(x\) للمقدار \(\cos(\pi t^2/2)\). وتظهر هذه الدالة بكثرة في البصريات (نمط شدة الإضاءة لحيود المجال القريب عند حافة مستقيمة)، وفي فيزياء الموجات، وفي الهندسة المدنية، حيث يُستخدَم منحنى الكلوثويد (أو حلزون أويلر) المرتبط بها في تصميم منحنيات الانتقال السلسة للطرق السريعة والسكك الحديدية، وهي منحنيات يتزايد فيها الانحناء خطيًا مع طول القوس.

يتذبذب تكامل جيب التمام لفرينل C(x) ويتقارب نحو 1/2 مع تزايد x.

كيفية استخدام هذه الحاسبة

أدخِل الحد الأعلى للتكامل \(x\) كأي عدد حقيقي (موجب أو سالب أو صفر) لتُعيد لك الحاسبة قيمة \(C(x)\). والقيمة الناتجة عديمة الأبعاد لأن \(x\) نفسه عدد صِرف بلا وحدة. وكلما كبُرت قيمة \(|x|\)، تذبذبت \(C(x)\) حول قيمة محددة لتتقارب نحو \(+0.5\) (عندما تتجه \(x\) إلى ما لا نهاية الموجبة) أو نحو \(-0.5\) (عندما تتجه \(x\) إلى ما لا نهاية السالبة).

الصيغة والاصطلاح المُتَّبَع

تعتمد هذه الأداة الاصطلاح المُعيَّر (normalized) الذي يضع المعامل \(\pi/2\) داخل دالة جيب التمام:

$$C(x) = \int_{0}^{x} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right) dt$$

ويختلف هذا عن الصيغة غير المُعيَّرة التي تأخذ شكل تكامل \(\cos(t^2)\). ولعدم وجود صيغة مغلقة لهذا التكامل، تُحسَب القيمة عبر قاعدة سيمبسون المركَّبة باستخدام شبكة دقيقة تعتمد على \(x\) بعدد فترات فرعية \(n = \max(1000, \lceil 200\,|x| \rceil)\)؛ كما يُستخدَم تمدُّد مقارب (asymptotic) عند القيم الكبيرة جدًا لـ \(|x|\) لتجنُّب تكامل عدد هائل من التذبذبات.

‏C(x) هي المساحة ذات الإشارة تحت cos(πt²/2) من 0 إلى x.

مثال محلول

عند \(x = 1\) يكون \(C(1) = \int_{0}^{1} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right) dt\). ويُعطي التكامل العددي القيمة المرجعية \(C(1) \approx 0.7798934004\). وعند \(x = 0.5\) تكون \(C(0.5) \approx 0.4923442275\). وعند \(x = 0\) تكون \(C(0) = 0\) تمامًا.

الأسئلة الشائعة

هل \(C(x)\) دالة فردية أم زوجية؟ إنها دالة فردية: \(C(-x) = -C(x)\)، أي أن إدخال قيمة سالبة يُعيد الانعكاس السالب لقيمة \(C(|x|)\).

ما هي النهاية عند ما لا نهاية؟ تتقارب \(C(x)\) نحو \(+1/2\) كلما زادت \(x\) موجبةً، ونحو \(-1/2\) كلما زادت سالبةً.

ما مدى دقة النتيجة؟ يوفر مخطط سيمبسون بدقة مزدوجة (double-precision) نحو 10 أرقام معنوية موثوقة للمدخلات العادية؛ أما الحصول على ناتج بدقة 50 رقمًا حقيقيًا فيتطلب حسابًا بدقة اعتباطية (arbitrary-precision).