ما هو الهرم الناقص ذو القاعدة المربعة؟
الهرم الناقص ذو القاعدة المربعة، أو الهرم المربع المقطوع، هو الجزء المتبقي حين تقطع قمة هرم مربع منتظم بقطعٍ موازٍ لقاعدته. يتكوّن من وجه سفلي مربع طول ضلعه a، ووجه علوي مربع أصغر طول ضلعه b يقع فوقه مباشرة وموازٍ له، وارتفاع عمودي h يفصل بين الوجهين، وأربعة أوجه جانبية متطابقة على شكل شبه منحرف متساوي الساقين. تعمل هذه الحاسبة بأي وحدة طول واحدة متسقة، فيظهر الحجم بمكعّب تلك الوحدة والمساحات بمربّعها. الحسابات هندسية بحتة وتنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان.
طريقة الاستخدام
أدخل طول الحافة السفلية a، وطول الحافة العلوية b (استخدم القيمة 0 للحصول على هرم كامل، أو اجعل \(b = a\) للحصول على صندوق)، ثم الارتفاع h. يجب أن تستخدم القيم الثلاث وحدة القياس نفسها. تعطيك الأداة الحجم، والمساحة الجانبية للأوجه الأربعة شبه المنحرفة، والمساحة الكلية شاملةً الوجهين المربعين، والارتفاع المائل لأحد الأوجه الجانبية.
شرح المعادلات
يُحسب الحجم باستخدام قاعدة المجسّم المنشوري/الهرم الناقص العامة \(V = \frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right)\). وبما أن الوجهين مربّعان فإن \(A_1 = a^2\) و\(A_2 = b^2\)، ومن ثمّ $$V = \frac{h}{3}\left(a^2 + ab + b^2\right)$$ وكل وجه جانبي عبارة عن شبه منحرف ضلعاه المتوازيان \(a\) و\(b\) وارتفاعه المائل $$\ell = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$$ مساحة شبه المنحرف الواحد هي \(\frac{a+b}{2}\cdot \ell\)، وأربعة منها تعطي المساحة الجانبية \(S_{\text{side}} = 2(a+b)\ell\). وبإضافة الوجهين المربعين نحصل على المساحة الكلية \(S = S_{\text{side}} + a^2 + b^2\).
مثال محلول
لنأخذ \(a = 2\) و\(b = 1\) و\(h = 1\). الحجم $$V = \frac{1}{3}(4 + 2 + 1) = \frac{7}{3} \approx 2.33333$$ الارتفاع المائل $$\ell = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} \approx 1.118034$$ المساحة الجانبية $$S_{\text{side}} = 2(3)(1.118034) \approx 6.708204$$ المساحة الكلية $$S = 6.708204 + 4 + 1 \approx 11.708204$$
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت الحافة العلوية تساوي 0؟ يتحوّل الهرم الناقص إلى هرم مربع كامل: \(V = \frac{h\cdot a^2}{3}\) و\(S_{\text{side}} = 2a\cdot\sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}\).
ماذا لو كانت a تساوي b؟ يصبح الشكل صندوقًا مستطيلًا (منشورًا مربعًا): \(\ell = h\) و\(V = a^2 h\) و\(S = 4ah + 2a^2\).
هل يجب أن أختار وحدة قياس معيّنة؟ لا. استخدم أي وحدة طول واحدة بشكل متسق؛ تكون النتيجة ببساطة بمكعّب تلك الوحدة (للحجم) وبمربّعها (للمساحات).
