正四角錐台とは
正四角錐台（せいしかくすいだい）とは、正四角錐の上部を底面に平行な平面で切り落としたときに残る立体のことです。一辺の長さ a の正方形の下底面と、その真上に平行に位置する一辺 b の小さな正方形の上底面を持ち、二つの面の間には垂直な高さ h があります。側面は合同な等脚台形が4枚で構成されます。この計算ツールでは長さの単位を一つに統一して入力すれば、体積はその単位の3乗、面積はその単位の2乗で求められます。計算はあくまで純粋な幾何学に基づくため、どの国・地域でもまったく同じ式が成り立ちます。
使い方
下底面の一辺 a、上底面の一辺 b（完全な角錐にしたい場合は 0、直方体にしたい場合は b = a を入力）、そして高さ h を入力します。3つの値はすべて同じ単位で揃えてください。結果として、体積、4枚の台形による側面積、上下2つの正方形面を含めた表面積、そして側面台形の斜辺（母線）の長さが表示されます。
計算式の解説
体積には、角錐台に共通する一般式 \(V = \frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right)\) を用います。正方形の面では \(A_1 = a^2\)、\(A_2 = b^2\) となるため、
$$V = \frac{h}{3}\left(a^2 + ab + b^2\right)$$と表せます。各側面は、平行な2辺が \(a\) と \(b\) で斜辺の長さが
$$\ell = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$$の台形です。台形1枚の面積は \(\frac{a+b}{2}\cdot \ell\) で、これが4枚あるので側面積は
$$S_{\text{side}} = 2(a+b)\ell$$となります。これに上下2つの正方形面を加えると、表面積
$$S = S_{\text{side}} + a^2 + b^2$$が得られます。
計算例
\(a = 2\)、\(b = 1\)、\(h = 1\) の場合を考えます。体積 \(= \frac{1}{3}(4 + 2 + 1) = \frac{7}{3} \approx 2.33333\)。斜辺 \(\ell = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} \approx 1.118034\)。側面積 \(= 2(3)(1.118034) \approx 6.708204\)。表面積 \(= 6.708204 + 4 + 1 \approx 11.708204\) となります。
よくある質問
上辺を 0 にするとどうなりますか？ 角錐台は完全な正四角錐になります。\(V = \frac{h\cdot a^2}{3}\)、\(S_{\text{side}} = 2a\cdot\sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}\) です。
a と b が等しい場合は？ 形状は直方体（四角柱）になります。\(\ell = h\)、\(V = a^2 h\)、\(S = 4ah + 2a^2\) となります。
単位を選ぶ必要はありますか？ ありません。長さの単位を一つに統一して使えば、結果は自動的にその単位の3乗（体積）と2乗（面積）で表示されます。
