Tronc de pyramide à base carrée : calcul du volume, de l'aire latérale et de la surface totale

Entrez le calcul

Longueur de l'arête inférieure a

Longueur de l'arête supérieure b

Hauteur h

Formule

Show calculation steps (3)

1. Slant Height

   

   Slant height of a lateral face

2. Lateral Surface Area

   

   L = 2(a + b)*slant; slant is the face slant height

3. Total Surface Area

   

   Total surface = lateral area + both square bases

Résultats

Volume V

2,333333

cubic length units (L³)

Aire latérale S_side	6,708204 L²
Surface totale S	11,708204 L²
Hauteur inclinée (apothème) l	1,118034 L

Qu'est-ce qu'un tronc de pyramide à base carrée ?

Un tronc de pyramide à base carrée correspond à ce qu'il reste lorsqu'on coupe le sommet d'une pyramide régulière à base carrée par un plan parallèle à sa base. Il possède une face inférieure carrée de côté a, une face supérieure carrée plus petite de côté b située juste au-dessus et parallèle à la première, une hauteur perpendiculaire h entre les deux faces, ainsi que quatre faces latérales identiques en forme de trapèze isocèle. Ce calculateur fonctionne avec n'importe quelle unité de longueur, à condition de rester cohérent : le volume s'exprime alors dans cette unité au cube et les aires dans cette unité au carré. Il s'agit de pure géométrie, valable à l'identique partout dans le monde.

Un tronc de pyramide droit à base carrée, d'arête inférieure a, d'arête supérieure b et de hauteur h.

Comment l'utiliser

Saisissez la longueur de l'arête inférieure a, celle de l'arête supérieure b (indiquez 0 pour une pyramide entière, ou b = a pour obtenir un parallélépipède), puis la hauteur h. Les trois valeurs doivent être exprimées dans la même unité. L'outil renvoie le volume, l'aire latérale des quatre trapèzes, la surface totale incluant les deux faces carrées, ainsi que l'apothème (hauteur inclinée) d'une face latérale.

Les formules expliquées

Le volume s'obtient par la formule générale des troncs (prismatoïdes) \(V = \frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right)\). Pour des faces carrées, \(A_1 = a^2\) et \(A_2 = b^2\), d'où

$$V = \frac{h}{3}\left(a^2 + ab + b^2\right)$$

Chaque face latérale est un trapèze dont les côtés parallèles mesurent \(a\) et \(b\), avec une hauteur inclinée

$$\ell = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$$

L'aire d'un trapèze vaut \(\frac{a+b}{2}\cdot \ell\), et les quatre réunis donnent l'aire latérale \(S_{\text{side}} = 2(a+b)\ell\). En ajoutant les deux faces carrées, on obtient la surface totale

$$S = S_{\text{side}} + a^2 + b^2$$

Patron déplié : deux faces carrées et quatre côtés trapézoïdaux pour l'aire de surface.

Exemple résolu

Prenons \(a = 2\), \(b = 1\), \(h = 1\). Volume :

$$V = \frac{1}{3}(4 + 2 + 1) = \frac{7}{3} \approx 2{,}33333$$

Hauteur inclinée :

$$\ell = \sqrt{1 + 0{,}25} = \sqrt{1{,}25} \approx 1{,}118034$$

Aire latérale :

$$2(3)(1{,}118034) \approx 6{,}708204$$

Surface totale :

$$6{,}708204 + 4 + 1 \approx 11{,}708204$$

FAQ

Que se passe-t-il si l'arête supérieure vaut 0 ? Le tronc devient une pyramide carrée complète : \(V = \frac{h\cdot a^2}{3}\) et \(S_{\text{side}} = 2a\cdot\sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}\).

Et si a est égal à b ? La forme devient un parallélépipède rectangle (prisme à base carrée) : \(\ell = h\), \(V = a^2 h\) et \(S = 4ah + 2a^2\).

Dois-je choisir une unité particulière ? Non. Utilisez n'importe quelle unité de longueur de façon cohérente ; le résultat s'exprime simplement dans cette unité au cube (volume) et au carré (aires).