Qu'est-ce qu'un tronc de pyramide à base carrée ?
Un tronc de pyramide à base carrée correspond à ce qu'il reste lorsqu'on coupe le sommet d'une pyramide régulière à base carrée par un plan parallèle à sa base. Il possède une face inférieure carrée de côté a, une face supérieure carrée plus petite de côté b située juste au-dessus et parallèle à la première, une hauteur perpendiculaire h entre les deux faces, ainsi que quatre faces latérales identiques en forme de trapèze isocèle. Ce calculateur fonctionne avec n'importe quelle unité de longueur, à condition de rester cohérent : le volume s'exprime alors dans cette unité au cube et les aires dans cette unité au carré. Il s'agit de pure géométrie, valable à l'identique partout dans le monde.
Comment l'utiliser
Saisissez la longueur de l'arête inférieure a, celle de l'arête supérieure b (indiquez 0 pour une pyramide entière, ou b = a pour obtenir un parallélépipède), puis la hauteur h. Les trois valeurs doivent être exprimées dans la même unité. L'outil renvoie le volume, l'aire latérale des quatre trapèzes, la surface totale incluant les deux faces carrées, ainsi que l'apothème (hauteur inclinée) d'une face latérale.
Les formules expliquées
Le volume s'obtient par la formule générale des troncs (prismatoïdes) \(V = \frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2}\right)\). Pour des faces carrées, \(A_1 = a^2\) et \(A_2 = b^2\), d'où
$$V = \frac{h}{3}\left(a^2 + ab + b^2\right)$$Chaque face latérale est un trapèze dont les côtés parallèles mesurent \(a\) et \(b\), avec une hauteur inclinée
$$\ell = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$$L'aire d'un trapèze vaut \(\frac{a+b}{2}\cdot \ell\), et les quatre réunis donnent l'aire latérale \(S_{\text{side}} = 2(a+b)\ell\). En ajoutant les deux faces carrées, on obtient la surface totale
$$S = S_{\text{side}} + a^2 + b^2$$
Exemple résolu
Prenons \(a = 2\), \(b = 1\), \(h = 1\). Volume :
$$V = \frac{1}{3}(4 + 2 + 1) = \frac{7}{3} \approx 2{,}33333$$Hauteur inclinée :
$$\ell = \sqrt{1 + 0{,}25} = \sqrt{1{,}25} \approx 1{,}118034$$Aire latérale :
$$2(3)(1{,}118034) \approx 6{,}708204$$Surface totale :
$$6{,}708204 + 4 + 1 \approx 11{,}708204$$FAQ
Que se passe-t-il si l'arête supérieure vaut 0 ? Le tronc devient une pyramide carrée complète : \(V = \frac{h\cdot a^2}{3}\) et \(S_{\text{side}} = 2a\cdot\sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}\).
Et si a est égal à b ? La forme devient un parallélépipède rectangle (prisme à base carrée) : \(\ell = h\), \(V = a^2 h\) et \(S = 4ah + 2a^2\).
Dois-je choisir une unité particulière ? Non. Utilisez n'importe quelle unité de longueur de façon cohérente ; le résultat s'exprime simplement dans cette unité au cube (volume) et au carré (aires).
