Calculateur de volume et de surface d'une calotte sphérique (segment hémisphérique)

Entrez le calcul

Rayon de la sphère r

Height h (h ≤ r)

Enter r and h in the same length unit. Constraint: 0 < h ≤ r (at most a hemisphere).

Formule

Show calculation steps (2)

1. Total Surface Area

   

   Curved (cap) area plus flat circular base area; base radius a = sqrt(h(2r - h))

2. Base Radius

   

   Radius of the flat circular base of the cap

Résultats

Volume V

0,654498

cubic length units (length³)

Surface totale S	5,497787 (length²)
Aire courbe (dôme)	3,141593
Aire de la base plane	2,356194
Rayon du cercle de base a	0,866025

Qu'est-ce qu'une calotte sphérique (segment hémisphérique) ?

Une calotte sphérique est le solide obtenu lorsqu'une sphère de rayon r est tranchée par un unique plan horizontal et que l'on conserve la portion en forme de dôme située au-dessus (ou en dessous) de ce plan. Sa hauteur h se mesure depuis la face de coupe plane jusqu'au sommet de la sphère. Cet outil limite h à une valeur au plus égale à r : le plus grand solide possible correspond donc exactement à une demi-sphère. Le disque de coupe a pour rayon a, avec \(a^2 = h(2r - h)\).

Une calotte sphérique est la région d'une sphère de rayon r découpée par un seul plan, de hauteur de calotte h.

Comment utiliser le calculateur

Saisissez le rayon de la sphère r et la hauteur de la calotte h dans la même unité de longueur (centimètres, pouces, mètres — à vous de choisir ; les résultats s'expriment alors dans cette unité au cube et au carré). Veillez à respecter 0 < h ≤ r. Le calculateur fournit le volume, la surface totale (dôme courbe plus base plane), ainsi que des valeurs intermédiaires utiles : l'aire du dôme, l'aire du disque de base et le rayon du cercle de base a.

Les formules expliquées

Le volume de la calotte vaut $$V = \frac{\pi\, h^{2}}{3}\left(3\,r - h\right)$$. La surface sphérique courbe correspond à la zone sphérique \(2\pi r h\), un élégant résultat dû à Archimède. La base plane est un disque d'aire \(\pi a^2 = \pi h(2r - h)\). En additionnant ces deux termes, on obtient la surface totale $$S = 2\pi r h + \pi h(2r - h) = \pi h(4r - h)$$.

Grandeurs clés : rayon de la sphère r, hauteur de la calotte h, la surface courbe (sphérique) et la base circulaire plate.

Exemple chiffré

Pour r = 1 et h = 0,5 : $$a = \sqrt{0{,}5 \times 1{,}5} = \sqrt{0{,}75} \approx 0{,}8660$$ $$V = \pi \times \frac{0{,}25}{3} \times 2{,}5 = \pi \times 0{,}20833 \approx 0{,}65450$$ Aire courbe $$= 2\pi \times 1 \times 0{,}5 = \pi \approx 3{,}14159$$ Aire de la base $$= 0{,}75\pi \approx 2{,}35619$$ Surface totale $$S = \pi \times 0{,}5 \times 3{,}5 = 1{,}75\pi \approx 5{,}49779$$

Questions fréquentes

Pourquoi h est-il limité à r ? L'outil d'origine modélise « au plus une demi-sphère » : il plafonne donc la hauteur au rayon de la sphère. Mathématiquement, une calotte peut atteindre \(h = 2r\), mais cette version reste dans la limite \(h \le r\).

La surface inclut-elle le disque plat ? Oui. La surface totale indiquée correspond au dôme courbe plus le disque de coupe plat. Si seul le dôme vous intéresse, reportez-vous à la ligne de l'aire courbe.

Que se passe-t-il lorsque h = r ? On obtient une demi-sphère parfaite : \(V = \tfrac{2}{3}\pi r^3\), dôme \(= 2\pi r^2\), base \(= \pi r^2\).