Qu'est-ce que le calculateur de table de l'intégrale exponentielle Ei(x) ?
Cet outil construit une table de l'intégrale exponentielle Ei(x) à partir d'une suite de valeurs de x régulièrement espacées. Vous choisissez une valeur de départ, un pas et le nombre de points souhaité, et le calculateur évalue Ei pour chaque x. L'intégrale exponentielle est une fonction spéciale que l'on rencontre dans de nombreux domaines de la physique et de l'ingénierie : transfert radiatif, simulation de faisceaux d'électrons ou encore analyse asymptotique d'intégrales.
Comment l'utiliser
Saisissez la valeur initiale de x (la première ligne), l'incrément ajouté à x à chaque ligne suivante et le nombre de points (lignes). La valeur de x de la ligne n vaut \(x_n = \text{startX} + n \cdot \text{stepX}\) pour \(n = 0, 1, \dots, \text{pointCount}-1\). Le calculateur renvoie chaque couple (x, Ei(x)) ainsi qu'un récapitulatif rapide de la première et de la dernière ligne. Un pas nul génère une colonne constante ; x = 0 n'est pas défini, car Ei présente en ce point une singularité logarithmique.
La formule expliquée
La série convergente utilisée s'écrit
$$\operatorname{Ei}(x_n) = \gamma + \ln|x_n| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x_n^{\,k}}{k \cdot k!}$$où gamma désigne la constante d'Euler-Mascheroni, soit \(\gamma \approx 0{,}5772156649\). La valeur absolue dans \(\ln|x|\), combinée aux puissances successives de x, permet de retrouver correctement Ei sur la branche positive comme sur la branche négative. Pour les grandes valeurs de \(|x|\) (au-delà d'environ 40), la série souffre de pertes de précision par compensation ; on recourt alors à un développement asymptotique \(\operatorname{Ei}(x) \sim \frac{e^x}{x} \sum \frac{n!}{x^n}\).
Exemple détaillé
Pour x = 1 : \(\ln|1| = 0\) et la somme de la série vaut environ 1,3179022, d'où
$$\operatorname{Ei}(1) = 0{,}5772157 + 0 + 1{,}3179022 = 1{,}8951178$$ce qui correspond à la valeur tabulée de référence. De même, \(\operatorname{Ei}(2) = 4{,}9542344\) et \(\operatorname{Ei}(-1) = -0{,}2193839\).
FAQ
Pourquoi x = 0 n'est-il pas défini ? Ei(x) présente une singularité logarithmique à l'origine (\(\ln|x|\) diverge) : la valeur est donc renvoyée sous la forme « non un nombre » (NaN).
Quelle est la précision de la table ? Pour des valeurs modérées de \(|x|\), la série reproduit les valeurs standard de Ei à la précision machine près ; le repli asymptotique assure la stabilité pour les grands arguments.
En quoi Ei diffère-t-elle de E1 ? Les deux fonctions sont liées par \(\operatorname{Ei}(x) = -E_1(-x)\) pour \(x < 0\) ; ce calculateur renvoie la valeur principale de Ei.
