घातांकीय समाकलन Ei(x) तालिका कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल समान अंतराल वाले x मानों की एक श्रृंखला पर घातांकीय समाकलन (exponential integral) Ei(x) की तालिका तैयार करता है। आप एक प्रारंभिक मान, स्टेप का आकार और कितने बिंदु चाहिए — यह तय करते हैं, और कैलकुलेटर हर x पर Ei की गणना कर देता है। घातांकीय समाकलन एक विशेष फलन है जो भौतिकी और इंजीनियरिंग में बार-बार सामने आता है, जैसे विकिरण स्थानांतरण (radiative transfer), इलेक्ट्रॉन-बीम सिमुलेशन और समाकलनों के असिम्प्टॉटिक विश्लेषण में।
इसे कैसे इस्तेमाल करें
x का प्रारंभिक मान (पहली पंक्ति) दर्ज करें, हर अगली पंक्ति में x में जोड़ी जाने वाली वृद्धि (increment) डालें, और बिंदुओं (पंक्तियों) की संख्या भरें। पंक्ति \(n\) का x मान इस तरह निकलता है: \(x_n = \text{startX} + n \cdot \text{stepX}\), जहाँ \(n = 0,\, 1,\, \dots,\, \text{pointCount}-1\)। कैलकुलेटर हर (x, Ei(x)) जोड़ी के साथ-साथ पहली और अंतिम पंक्ति का संक्षिप्त सारांश भी देता है। स्टेप शून्य रखने पर एक स्थिर कॉलम मिलेगा; x = 0 अपरिभाषित है क्योंकि वहाँ Ei में लॉगरिदमिक विचित्रता (logarithmic singularity) होती है।
सूत्र की व्याख्या
यहाँ अभिसरण श्रेणी (convergent series) इस्तेमाल होती है:
$$\operatorname{Ei}(x_n) = \gamma + \ln|x_n| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x_n^{\,k}}{k \cdot k!}$$जहाँ \(\gamma\) यूलर-माश्केरोनी स्थिरांक \(0.5772156649\) है। \(\ln|x|\) में निरपेक्ष मान (absolute value) और x की एकांतर घातें मिलकर सकारात्मक तथा नकारात्मक दोनों शाखाओं पर Ei को सही ढंग से उत्पन्न करती हैं। बड़े \(|x|\) (लगभग 40 से अधिक) के लिए श्रेणी में मानों की कटौती (cancellation) से गड़बड़ी होती है, इसलिए उसकी जगह एक असिम्प्टॉटिक प्रसार \(\operatorname{Ei}(x) \sim \frac{e^x}{x} \sum \frac{n!}{x^n}\) का उपयोग किया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
x = 1 के लिए: \(\ln|1| = 0\) और श्रेणी का योग लगभग \(1.3179022\) होता है, अतः $$\operatorname{Ei}(1) = 0.5772157 + 0 + 1.3179022 = 1.8951178,$$ जो मानक तालिका मान से मेल खाता है। इसी तरह \(\operatorname{Ei}(2) = 4.9542344\) और \(\operatorname{Ei}(-1) = -0.2193839\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
x = 0 अपरिभाषित क्यों है? Ei(x) में मूल बिंदु (origin) पर लॉगरिदमिक विचित्रता होती है (\(\ln|x|\) अपसरित हो जाता है), इसलिए वहाँ मान not-a-number के रूप में दिखाया जाता है।
तालिका कितनी सटीक है? मध्यम \(|x|\) के लिए यह श्रेणी मानक Ei मानों को लगभग मशीन परिशुद्धता (machine precision) तक पुनः उत्पन्न करती है, और असिम्प्टॉटिक फ़ॉलबैक बड़े आर्ग्युमेंट को स्थिर बनाए रखता है।
Ei और E1 में क्या फर्क है? ये आपस में इस तरह जुड़े हैं: \(x < 0\) के लिए \(\operatorname{Ei}(x) = -E_1(-x)\); यह कैलकुलेटर मुख्य-मान (principal-value) वाला Ei लौटाता है।
