지수적분 Ei(x) 표 계산기란?
이 도구는 등간격으로 배열된 x값에 대해 지수적분 Ei(x) 표를 만들어 줍니다. 시작값과 간격, 원하는 점 개수만 지정하면 각 x에서의 Ei 값을 한 번에 계산합니다. 지수적분은 물리학과 공학 전반에 등장하는 특수함수로, 복사 전달, 전자빔 시뮬레이션, 적분의 점근 해석 등에서 널리 쓰입니다.
사용 방법
x의 초기값(첫 번째 행), 행이 하나씩 늘어날 때마다 x에 더해지는 증가량, 그리고 점(행)의 개수를 입력하세요. n번째 행의 x값은 \(x_n = \text{startX} + n \cdot \text{stepX}\) (\(n = 0, 1, \dots, \text{pointCount}-1\)) 입니다. 계산기는 모든 \((x, \operatorname{Ei}(x))\) 쌍과 함께 첫 행과 마지막 행을 한눈에 보여 주는 요약을 제공합니다. 간격을 0으로 두면 x값이 일정한 열이 만들어지며, x = 0에서는 Ei가 로그 특이점을 가지므로 정의되지 않습니다.
공식 풀이
여기서 사용하는 수렴 급수는 다음과 같습니다.
$$\operatorname{Ei}(x) = \gamma + \ln|x| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{\,k}}{k \cdot k!}$$여기서 \(\gamma\)는 오일러-마스케로니 상수 \(0.5772156649\)입니다. \(\ln|x|\)의 절댓값과 x의 거듭제곱이 함께 작용하여 양수와 음수 가지 양쪽에서 Ei를 올바르게 구해 줍니다. \(|x|\)가 클 때(대략 40 이상)는 급수에서 자리 손실(상쇄 오차)이 발생하므로, 대신 점근 전개 $$\operatorname{Ei}(x) \sim \frac{e^x}{x} \sum_{n} \frac{n!}{x^n}$$ 을 사용합니다.
계산 예시
x = 1일 때: \(\ln|1| = 0\) 이고 급수 합은 약 \(1.3179022\) 이므로 $$\operatorname{Ei}(1) = 0.5772157 + 0 + 1.3179022 = 1.8951178$$ 이 되며, 이는 표준 표 값과 일치합니다. 같은 방식으로 \(\operatorname{Ei}(2) = 4.9542344\), \(\operatorname{Ei}(-1) = -0.2193839\) 입니다.
자주 묻는 질문
x = 0에서는 왜 정의되지 않나요? Ei(x)는 원점에서 로그 특이점을 가지며(\(\ln|x|\)가 발산), 따라서 이 값은 숫자가 아님(NaN)으로 표시됩니다.
표는 얼마나 정확한가요? \(|x|\)가 적당한 범위에서는 급수가 표준 Ei 값을 거의 기계 정밀도 수준까지 재현하며, 큰 인수에서는 점근 전개로 전환해 안정성을 유지합니다.
Ei와 E1은 어떻게 다른가요? 둘은 x < 0에 대해 \(\operatorname{Ei}(x) = -E_1(-x)\) 관계로 연결됩니다. 이 계산기는 주값(principal value) Ei를 반환합니다.
