Что такое калькулятор таблицы интегральной экспоненты Ei(x)?
Этот инструмент строит таблицу интегральной экспоненты Ei(x) на равномерной последовательности значений x. Вы задаёте начальное значение, размер шага и нужное количество точек, а калькулятор вычисляет Ei в каждой точке x. Интегральная экспонента — это специальная функция, которая встречается во множестве задач физики и инженерии: в теории переноса излучения, в моделировании электронных пучков и в асимптотическом анализе интегралов.
Как пользоваться
Укажите начальное значение x (первая строка), приращение, добавляемое к x на каждой следующей строке, и число точек (строк). Значение x в строке n вычисляется как \(x_n = \text{startX} + n \cdot \text{stepX}\) при \(n = 0, 1, \dots, \text{pointCount}-1\). Калькулятор выдаёт все пары (x, Ei(x)), а также краткую сводку по первой и последней строкам. Нулевой шаг даёт постоянный столбец; точка x = 0 не определена, поскольку у Ei в ней логарифмическая особенность.
Разбор формулы
Используется сходящийся ряд $$\operatorname{Ei}(x_n) = \gamma + \ln|x_n| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x_n^{\,k}}{k \cdot k!}$$ где gamma — постоянная Эйлера—Маскерони, равная \(0{,}5772156649\). Модуль в \(\ln|x|\) вместе с чередующимися степенями x корректно воспроизводит Ei как на положительной, так и на отрицательной ветви. При больших |x| (примерно от 40 и выше) ряд начинает терять точность из-за взаимного сокращения слагаемых, поэтому вместо него применяется асимптотическое разложение \(\operatorname{Ei}(x) \sim \frac{e^x}{x} \cdot \sum \frac{n!}{x^n}\).
Разбор примера
Для x = 1: \(\ln|1| = 0\), а сумма ряда составляет около \(1{,}3179022\), поэтому $$\operatorname{Ei}(1) = 0{,}5772157 + 0 + 1{,}3179022 = 1{,}8951178$$ — это совпадает со стандартным табличным значением. Аналогично \(\operatorname{Ei}(2) = 4{,}9542344\) и \(\operatorname{Ei}(-1) = -0{,}2193839\).
Частые вопросы
Почему x = 0 не определена? У Ei(x) в начале координат логарифмическая особенность (\(\ln|x|\) расходится), поэтому в этой точке возвращается «не число» (NaN).
Насколько точна таблица? Для умеренных |x| ряд воспроизводит стандартные значения Ei практически с машинной точностью, а асимптотический «запасной» вариант сохраняет устойчивость при больших аргументах.
Чем Ei отличается от E1? Они связаны соотношением \(\operatorname{Ei}(x) = -E_1(-x)\) для \(x < 0\); данный калькулятор возвращает Ei в смысле главного значения.
