Что такое интегральная показательная функция Eₙ(x)?
Обобщённая интегральная показательная функция \(E_{\text{n}}(\text{x})\) — это известная специальная функция, которая задаётся интегралом от выражения \(e^{-\text{x}\,t}/t^{\,\text{n}}\) по переменной \(t\) в пределах от 1 до бесконечности. Она встречается во многих разделах прикладной математики, физики (прежде всего в задачах переноса излучения и переноса нейтронов) и инженерных расчётах. Параметр \(n\) — это целочисленный порядок, а \(x\) — вещественный аргумент. При \(n = 1\) функция сводится к классической интегральной показательной функции по формуле \(E_{1}(\text{x}) = -\text{Ei}(-\text{x})\).
Как пользоваться калькулятором
Введите порядок n как неотрицательное целое число (0, 1, 2, 3, …), а аргумент x — как вещественное число. Нажмите «Вычислить», и вы получите значение \(E_{\text{n}}(\text{x})\) с двойной точностью (около 15 значащих цифр). Функция принимает вещественные значения только при \(x\) не меньше 0. При \(n = 0\) или \(n = 1\) аргумент должен быть строго положительным, так как в обоих случаях функция расходится при \(x\), стремящемся к 0; при \(n\) не меньше 2 значение в точке \(x = 0\) конечно и равно \(1/(n-1)\).
Формула и алгоритм
Функция определяется интегралом $$E_{\text{n}}\!\left(\text{x}\right) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-\text{x}\,t}}{t^{\,\text{n}}}\,dt$$ В данной реализации используется численно устойчивый алгоритм «expint»: при \(x > 1\) применяется цепная дробь по методу Ленца, а при \(0 < x \le 1\) — сходящийся степенной ряд, в котором участвует постоянная Эйлера — Маскерони \(\gamma \approx 0{,}5772156649\). Особые случаи обрабатываются напрямую: \(E_{0}(\text{x}) = e^{-\text{x}}/\text{x}\) и \(E_{\text{n}}(0) = 1/(n-1)\) при \(n \ge 2\).
Разбор примера
Возьмём значения по умолчанию: \(n = 2\) и \(x = 1\). Поскольку \(x \le 1\), используется степенной ряд с \(nm1 = 1\). Ряд начинается с 1, а последующие слагаемые (\(-0{,}4227843\), \(-0{,}5\), \(+0{,}0833333\), \(-0{,}0138889\), …) в сумме дают \(E_{2}(1) \approx 0{,}1484955\). Для проверки: \(E_{2}(0) = 1/(2-1) = 1\), а \(E_{1}(1) \approx 0{,}2193839\).
Частые вопросы
Почему при отрицательном x выдаётся ошибка? При \(x < 0\) функция не принимает вещественных значений, поэтому калькулятор помечает результат как неопределённый.
Что происходит при x = 0? При \(n \ge 2\) результат равен \(1/(n-1)\); при \(n = 0\) или \(n = 1\) функция расходится, поэтому \(x\) должен быть положительным.
Насколько точен результат? Арифметика двойной точности обеспечивает порядка 15 значащих цифр — этого более чем достаточно для большинства научных и инженерных задач.
