Калькулятор объёма и площади поверхности шарового сегмента (полусферического сегмента)

Введите расчет

Радиус шара r

Height h (h ≤ r)

Enter r and h in the same length unit. Constraint: 0 < h ≤ r (at most a hemisphere).

Математическая формула

Show calculation steps (2)

1. Total Surface Area

   

   Curved (cap) area plus flat circular base area; base radius a = sqrt(h(2r - h))

2. Base Radius

   

   Radius of the flat circular base of the cap

Результатов

Объём V

0,654498

cubic length units (length³)

Полная площадь поверхности S	5,497787 (length²)
Площадь купола (криволинейной части)	3,141593
Площадь плоского основания	2,356194
Радиус окружности основания a	0,866025

Что такое шаровой сегмент (полусферический сегмент)?

Шаровой сегмент — это тело, которое получается, если шар радиуса r рассечь одной горизонтальной плоскостью и оставить куполообразную часть выше (или ниже) этого сечения. Высота сегмента h измеряется от плоского среза до верхней точки шара. В этом калькуляторе высота h ограничена значением r, поэтому самое большое возможное тело — ровно полушарие. Плоский круг среза имеет радиус a, где \(a^2 = h(2r - h)\).

Шаровой сегмент — это часть шара радиуса r, отсечённая одной плоскостью, с высотой сегмента h.

Как пользоваться калькулятором

Введите радиус шара r и высоту сегмента h в одной и той же единице длины (сантиметры, дюймы, метры — на ваш выбор; результаты получаются в этой же единице в кубе и в квадрате). Убедитесь, что 0 < h ≤ r. Калькулятор выдаёт объём, полную площадь поверхности (купол плюс плоское основание), а также полезные промежуточные величины: площадь купола, площадь основания-диска и радиус окружности основания a.

Разбор формул

Объём сегмента равен

$$V = \frac{\pi h^2}{3}\left(3r - h\right)$$

Криволинейная (сферическая) поверхность — это шаровой пояс \(2\pi r h\), изящный результат, известный ещё со времён Архимеда. Плоское основание — круг площадью \(\pi a^2 = \pi h(2r - h)\). Сложив их, получаем полную площадь поверхности

$$S = 2\pi r h + \pi h(2r - h) = \pi h(4r - h)$$

Основные величины: радиус шара r, высота сегмента h, изогнутая (сферическая) поверхность и плоское круглое основание.

Пример расчёта

Для r = 1 и h = 0,5: \(a = \sqrt{0{,}5 \times 1{,}5} = \sqrt{0{,}75} \approx 0{,}8660\). \(V = \pi \times \frac{0{,}25}{3} \times 2{,}5 = \pi \times 0{,}20833 \approx 0{,}65450\). Площадь купола \(= 2\pi \times 1 \times 0{,}5 = \pi \approx 3{,}14159\). Площадь основания \(= 0{,}75\pi \approx 2{,}35619\). Полная площадь \(S = \pi \times 0{,}5 \times 3{,}5 = 1{,}75\pi \approx 5{,}49779\).

Частые вопросы

Почему h ограничена значением r? Исходный инструмент моделирует тело «не больше полушария», поэтому высота ограничена радиусом шара. С точки зрения математики сегмент может иметь высоту до 2r, но в этой версии действует ограничение h ≤ r.

Учитывает ли площадь поверхности плоский диск? Да. Указанная полная площадь поверхности — это криволинейный купол плюс плоский круг среза. Если вам нужен только купол, смотрите строку с площадью купола.

Что происходит при h = r? Получается идеальное полушарие: \(V = \frac{2}{3}\pi r^3\), купол \(= 2\pi r^2\), основание \(= \pi r^2\).