Что такое шаровой сегмент?
Шаровой сегмент — это часть шара, отсечённая плоскостью. Он задаётся радиусом шара r и высотой сегмента h (перпендикулярным расстоянием от секущей плоскости до вершины сегмента). Если h равно r, сегмент представляет собой ровно полушарие, а если h равно 2r — это весь шар целиком.
Как пользоваться калькулятором
Введите радиус шара и высоту сегмента в одних и тех же единицах измерения. Калькулятор вычислит объём сегмента, площадь боковой (криволинейной) поверхности, площадь плоского круга в основании, полную площадь поверхности и радиус окружности основания. Высота сегмента автоматически ограничивается значениями от 0 до диаметра \(2r\).
Разбор формул
Объём вычисляется по формуле $$V = \frac{\pi h^{2}}{3}\left(3r - h\right).$$ Площадь боковой поверхности равна $$A = 2\pi r h.$$ В основании сегмента лежит круг, радиус которого \(a\) удовлетворяет соотношению \(a^{2} = h(2r - h)\), поэтому площадь основания равна \(\pi a^{2}\), а полная площадь поверхности — это сумма площади боковой поверхности и площади основания.
Пример расчёта
При \(r = 5\) и \(h = 2\): $$V = \frac{\pi \cdot 4}{3}(15 - 2) = \frac{4\pi}{3}\cdot 13 \approx 54{,}4543$$ кубических единиц. Площадь боковой поверхности \(= 2\pi \cdot 5 \cdot 2 = 20\pi \approx 62{,}8319\). Радиус основания \(a = \sqrt{2 \cdot 8} = 4\), значит площадь основания \(= 16\pi \approx 50{,}2655\), а полная площадь поверхности \(\approx 113{,}0973\).
Частые вопросы
А если h = r? Получится полушарие: при \(r = 3\) и \(h = 3\) объём \(V = \frac{\pi \cdot 9}{3}(9 - 3) = 3\pi \cdot 6 = 18\pi \approx 56{,}5487\).
В каких единицах работает калькулятор? В любых, главное — чтобы они были согласованы: объём получается в кубических единицах, а площади — в квадратных.
Может ли h быть больше диаметра? Нет. Инструмент ограничивает h максимальным значением \(2r\) — это полный шар.
