ما هي القلنسوة الكروية؟
القلنسوة الكروية هي ذلك الجزء من الكرة الذي يقتطعه مستوٍ قاطع. وتُعرَّف بدلالة نصف قطر الكرة r وارتفاع القلنسوة h (وهو المسافة العمودية من المستوى القاطع إلى قمة القلنسوة). فعندما يساوي h قيمة r تكون القلنسوة نصف كرة تمامًا، وعندما يساوي h قيمة 2r تصبح الكرة كاملة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل نصف قطر الكرة وارتفاع القلنسوة باستخدام الوحدة نفسها. تعرض لك الحاسبة حجم القلنسوة، والمساحة السطحية المنحنية (الجانبية)، ومساحة دائرة القاعدة المستوية، والمساحة السطحية الكلية، ونصف قطر دائرة القاعدة. ويُضبط ارتفاع القلنسوة تلقائيًا ليبقى محصورًا بين 0 والقطر \(2r\).
شرح المعادلات
الحجم يُعطى بالعلاقة $$V = \frac{\pi h^{2}}{3}\left(3r - h\right)$$ أما المساحة السطحية المنحنية فهي $$A = 2\pi r h$$ وقاعدة القلنسوة عبارة عن دائرة نصف قطرها \(a\) يحقق \(a^{2} = h(2r - h)\)، ومن ثَمّ تكون مساحة القاعدة \(\pi a^{2}\)، وتساوي المساحة السطحية الكلية مجموع المساحة المنحنية ومساحة القاعدة.
مثال محلول
لنأخذ \(r = 5\) و\(h = 2\): الحجم $$V = \frac{\pi \cdot 4}{3}\left(15 - 2\right) = \frac{4\pi}{3}\cdot 13 \approx 54.4543$$ وحدة مكعبة. والمساحة المنحنية \(= 2\pi \cdot 5 \cdot 2 = 20\pi \approx 62.8319\). ونصف قطر القاعدة \(a = \sqrt{2 \cdot 8} = 4\)، ومن ثَمّ مساحة القاعدة \(= 16\pi \approx 50.2655\) والمساحة الكلية \(\approx 113.0973\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا كان \(h = r\)؟ تحصل عندها على نصف كرة: فمع \(r = 3\) و\(h = 3\) يكون الحجم $$V = \frac{\pi \cdot 9}{3}\left(9 - 3\right) = 3\pi \cdot 6 = 18\pi \approx 56.5487$$
ما الوحدات المستخدمة؟ أي وحدة متّسقة — فالحجم الناتج يُعبَّر عنه بالوحدات المكعبة والمساحات بالوحدات المربعة.
هل يمكن أن يكون h أكبر من القطر؟ لا. تضبط الأداة قيمة h بحدّ أقصى يساوي \(2r\)، أي الكرة الكاملة.
