ما هي القبة الكروية؟
القبة الكروية (وتُعرف أيضًا بالقطعة الكروية أو الكرة المقطوعة ذات القاعدة الواحدة) هي المجسم الناتج عند قطع الكرة بمستوٍ مسطّح واحد والاحتفاظ بالجزء «المقطوع». تُعرَّف هذه القبة بنصف قطر الكرة \(R\) وبارتفاع القبة \(h\) — أي المسافة من مستوى القطع حتى قمة القبة. وهي أداة هندسية عامة تنطبق صيغها بالطريقة نفسها في كل مكان ومع أي وحدة طول.
طريقة الاستخدام
أدخِل نصف قطر الكرة \(R\) وارتفاع القبة \(h\)، ثم اختر وحدة الطول (تُستخدم الوحدة ذاتها للمدخلات وللنتائج معًا). الشرط الواجب توافره هو \(0 < h \le 2R\): فعندما تكون \(h = 2R\) تتحوّل القبة إلى الكرة كاملةً، وعندما تكون \(h = R\) تصبح نصف كرة تمامًا. تُعطيك الحاسبة نصف قطر القاعدة المسطحة \(a\)، وحجم القبة، والمساحة المنحنية (الكروية)، ومساحة القاعدة المسطحة، والمساحة الكلية للسطح.
شرح الصيغ
يُستنتج نصف قطر القاعدة من علاقة المثلث القائم \(a^{2} = h(2R - h)\)، أي $$a = \sqrt{h(2R - h)}$$ أما الحجم فهو $$V = \frac{\pi h^{2}}{3}(3R - h)$$ والمساحة المنحنية للقبة هي \(S_{\text{curved}} = 2\pi R h\)، في حين أن مساحة القاعدة الدائرية المسطحة تساوي \(S_{\text{base}} = \pi a^{2} = \pi h(2R - h)\). وتُجمع المساحتان للحصول على المساحة الكلية: $$S_{\text{total}} = 2\pi R h + \pi h(2R - h)$$
مثال محلول
لنأخذ \(R = 10\) سم و \(h = 4\) سم. عندئذٍ $$a = \sqrt{4 \times 16} = \sqrt{64} = 8 \text{ سم}$$ والحجم هو $$V = \frac{\pi \times 16}{3}(30 - 4) = \frac{416}{3}\pi \approx 435.63 \text{ سم}^{3}$$ والمساحة المنحنية هي \(2\pi \times 10 \times 4 = 80\pi \approx 251.33\) سم²، ومساحة القاعدة هي \(\pi \times 64 = 64\pi \approx 201.06\) سم²، والمساحة الكلية للسطح هي \(144\pi \approx 452.39\) سم².
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا كانت \(h = 2R\)؟ تصبح القبة كرةً كاملة: \(V = \frac{4}{3}\pi R^{3}\)، والمساحة المنحنية \(= 4\pi R^{2}\)، ويكون نصف قطر القاعدة صفرًا.
ماذا يحدث إذا كانت \(h = R\)؟ تحصل على نصف كرة: \(V = \frac{2}{3}\pi R^{3}\)، والمساحة المنحنية \(= 2\pi R^{2}\)، و \(a = R\).
هل يمكن أن يتجاوز ارتفاع القبة قطر الكرة؟ لا. لا يمكن لمستوى القطع أن يزيل أكثر من الكرة بأكملها، لذلك يجب أن تحقق \(h\) الشرط \(0 < h \le 2R\)؛ وتُرفض القيم الأكبر من ذلك.
