球冠とは？
球冠（きゅうかん／球欠・ドームとも呼ばれます）とは、球を1枚の平面で切ったときに切り取られる、お椀をかぶせたような立体のことです。形状は球の半径Rと球冠の高さh（切断面の中心からドームの頂点までの距離）の2つで決まります。これは国や地域に依存しない普遍的な幾何の公式で、長さの単位を問わず、どこでもまったく同じ式が成り立ちます。
使い方
球の半径Rと球冠の高さhを入力し、長さの単位を選んでください（入力値と計算結果は同じ単位で扱われます）。条件は \(0 < h \le 2R\) です。\(h = 2R\) のときは球全体に、\(h = R\) のときはちょうど半球になります。計算結果として、底面（円）の半径a、球冠の体積、曲面（球面部分）の面積、平らな底面の面積、そして全表面積が求められます。
計算式の解説
底面の半径は、直角三角形の関係 \(a^{2} = h(2R - h)\) から導かれ、$$a = \sqrt{h\left(2R - h\right)}$$ となります。体積は $$V = \frac{\pi h^{2}}{3}\left(3R - h\right)$$ です。曲面（球面部分）の面積は \(S_{\text{curved}} = 2\pi R h\)、平らな円形の底面の面積は \(S_{\text{base}} = \pi a^{2} = \pi h(2R - h)\) で求められます。全表面積はこの2つを足し合わせて、$$S_{\text{total}} = 2\pi R h + \pi h\left(2R - h\right)$$ となります。
計算例
\(R = 10\ \text{cm}\)、\(h = 4\ \text{cm}\) の場合を考えます。まず $$a = \sqrt{4 \times 16} = \sqrt{64} = 8\ \text{cm}$$ です。体積は $$V = \frac{\pi \times 16}{3}\left(30 - 4\right) = \frac{416}{3}\pi \approx 435.63\ \text{cm}^{3}$$ となります。曲面積は \(2\pi \times 10 \times 4 = 80\pi \approx 251.33\ \text{cm}^{2}\)、底面積は \(\pi \times 64 = 64\pi \approx 201.06\ \text{cm}^{2}\)、全表面積は \(144\pi \approx 452.39\ \text{cm}^{2}\) です。
よくある質問
h が 2R に等しいときは？ 球冠は球全体になります。\(V = \frac{4}{3}\pi R^{3}\)、曲面積 \(= 4\pi R^{2}\)、底面の半径は 0 です。
h が R に等しいときは？ ちょうど半球になります。\(V = \frac{2}{3}\pi R^{3}\)、曲面積 \(= 2\pi R^{2}\)、\(a = R\) です。
球冠の高さが直径を超えてもよい？ いいえ。切断面が球全体より多くを切り取ることはできないため、h は \(0 < h \le 2R\) を満たす必要があります。これを超える値は受け付けられません。
