半球台（球冠）とは
球冠（きゅうかん）とは、半径 r の球を1枚の平面でスパッと切り、その切り口の上側（または下側）に残るドーム状の立体のことです。高さ h は、平らな切り口の面から球の頂点までの距離で測ります。この計算サイトでは h を r 以下に制限しているため、最大でもちょうど半球までの形になります。切り口の円の半径を a とすると、\(a^2 = h(2r - h)\) の関係が成り立ちます。
使い方
球の半径 r と球冠の高さ h を、同じ長さの単位（cm、inch、m などお好みで）で入力してください。結果はその単位の3乗・2乗で表示されます。条件は 0 < h ≤ r です。体積、表面積の合計（曲面のドーム部分＋平らな底面）に加え、ドーム部分の面積、底面の円の面積、底円の半径 a といった途中の値も求められます。
計算式の解説
球冠の体積は $$V = \frac{\pi h^2}{3}(3r - h)$$ で求めます。曲面（球の一部となるドーム面）の面積は球帯の公式から \(2\pi r h\) となり、これはアルキメデスが見いだした美しい結果です。平らな底面は半径 a の円なので、その面積は \(\pi a^2 = \pi h(2r - h)\)。これらを足し合わせると、表面積の合計は $$S = 2\pi r h + \pi h(2r - h) = \pi h(4r - h)$$ となります。
計算例
r = 1、h = 0.5 のとき：\(a = \sqrt{0.5 \times 1.5} = \sqrt{0.75} \approx 0.8660\)。$$V = \pi \times \frac{0.25}{3} \times 2.5 = \pi \times 0.20833 \approx 0.65450$$ 曲面の面積 \(= 2\pi \times 1 \times 0.5 = \pi \approx 3.14159\)。底面の面積 \(= 0.75\pi \approx 2.35619\)。表面積の合計 \(S = \pi \times 0.5 \times 3.5 = 1.75\pi \approx 5.49779\)。
よくある質問
なぜ h は r 以下に制限されているのですか？ 元の計算ツールが「最大でも半球まで」をモデルとしているため、高さの上限を球の半径に合わせています。数学的には球冠の高さ h は 2r まで取れますが、このバージョンでは \(h \le r\) の範囲に限定しています。
表面積に平らな底面（円）は含まれますか？ 含まれます。表示される「表面積の合計」は、曲面のドーム部分と平らな切り口の円を合わせた値です。ドーム部分だけが必要な場合は「曲面（ドーム）の面積」の欄をご覧ください。
h = r のときはどうなりますか？ ちょうど半球になります。\(V = \frac{2}{3}\pi r^3\)、ドーム面 \(= 2\pi r^2\)、底面 \(= \pi r^2\) です。
