球冠とは？
球冠とは、球を一つの平面で切り取ったときにできる「かぶせもの」のような部分のことです。球冠は、球の半径 r と球冠の高さ h（切断面から球冠の頂点までの垂直距離）の2つで決まります。h が r と等しいときは、球冠はちょうど半球になり、h が 2r と等しいときは球全体になります。
計算ツールの使い方
球の半径と球冠の高さを、同じ単位でそれぞれ入力してください。すると、球冠の体積、曲面（側面）の面積、平らな底面の円の面積、全表面積、そして底面の円の半径が一度に求められます。球冠の高さは自動的に 0 から直径 \(2r\) の範囲内に収まるよう調整されます。
計算式の解説
体積は次の式で求められます。
$$V = \frac{\pi h^{2}}{3}\left(3r - h\right)$$曲面積は次のとおりです。
$$A = 2\pi r h$$球冠の底面は半径 \(a\) の円で、その \(a\) は次を満たします。
$$a^{2} = h\left(2r - h\right)$$したがって底面の面積は \(\pi a^{2}\)、全表面積は曲面積と底面積を足し合わせた値になります。
計算例
\(r = 5\)、\(h = 2\) の場合を見てみましょう。体積は次のようになります。
$$V = \frac{\pi \cdot 4}{3}\left(15 - 2\right) = \frac{4\pi}{3}\cdot 13 \approx 54.4543$$（立方単位）となります。曲面積は \(2\pi \cdot 5 \cdot 2 = 20\pi \approx 62.8319\) です。底面の半径は \(a = \sqrt{2 \cdot 8} = 4\) なので、底面積は \(16\pi \approx 50.2655\)、全表面積は約 \(113.0973\) になります。
よくある質問（FAQ）
h = r のときはどうなりますか？ 半球になります。たとえば \(r = 3\)、\(h = 3\) のとき、\(V = \frac{\pi \cdot 9}{3}\left(9 - 3\right) = 3\pi \cdot 6 = 18\pi \approx 56.5487\) です。
どの単位を使えばよいですか？ 単位がそろっていれば何でも構いません。体積は立方単位、面積は平方単位で出力されます。
h を直径より大きくできますか？ いいえ。本ツールでは h の最大値を球全体に相当する \(2r\) に制限しています。
