구형 캡이란?
구형 캡(spherical cap)은 구를 하나의 평면으로 잘랐을 때 생기는 한쪽 부분을 말합니다. 구의 반지름 r과 캡의 높이 h(자른 평면에서 캡의 꼭대기까지의 수직 거리)로 정의됩니다. h가 r과 같으면 캡은 정확히 반구가 되고, h가 2r과 같으면 구 전체가 됩니다.
계산기 사용 방법
구의 반지름과 캡의 높이를 같은 단위로 입력하세요. 계산기는 캡의 부피, 곡면(측면) 표면적, 평평한 밑면 원의 넓이, 전체 표면적, 그리고 밑면 원의 반지름을 한 번에 알려 줍니다. 캡의 높이는 0과 지름 \(2r\) 사이에 있도록 자동으로 제한됩니다.
공식 자세히 보기
부피는 다음과 같이 구합니다.
$$V = \frac{\pi h^{2}}{3}\left(3r - h\right)$$곡면 표면적은 다음과 같습니다.
$$A = 2\pi r h$$캡의 밑면은 반지름 \(a\)를 가진 원이며, 이때 \(a\)는 \(a^{2} = h(2r - h)\)를 만족합니다. 따라서 밑면 넓이는 \(\pi a^{2}\)이고, 전체 표면적은 곡면 표면적과 밑면 넓이를 더한 값입니다.
계산 예시
\(r = 5\), \(h = 2\)인 경우를 살펴봅시다.
$$V = \frac{\pi \cdot 4}{3}\left(15 - 2\right) = \frac{4\pi}{3}\cdot 13 \approx 54.4543$$세제곱 단위입니다. 곡면 표면적 \(= 2\pi \cdot 5 \cdot 2 = 20\pi \approx 62.8319\)이고, 밑면 반지름 \(a = \sqrt{2 \cdot 8} = 4\)이므로 밑면 넓이 \(= 16\pi \approx 50.2655\), 전체 표면적 \(\approx 113.0973\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
h = r이면 어떻게 되나요? 반구가 됩니다. 예를 들어 \(r = 3\), \(h = 3\)일 때 \(V = \frac{\pi \cdot 9}{3}\left(9 - 3\right) = 3\pi \cdot 6 = 18\pi \approx 56.5487\)입니다.
어떤 단위를 사용하나요? 일관된 단위라면 무엇이든 괜찮습니다. 부피는 세제곱 단위, 넓이는 제곱 단위로 출력됩니다.
h가 지름보다 클 수 있나요? 아니요. 이 도구는 h를 최대 \(2r\)(구 전체)로 제한합니다.
