Qu'est-ce qu'une calotte sphérique ?
Une calotte sphérique est la partie d'une sphère découpée par un plan. Elle est définie par le rayon de la sphère r et par la hauteur de la calotte h (la distance perpendiculaire entre le plan de coupe et le sommet de la calotte). Lorsque h est égal à r, la calotte correspond exactement à une demi-sphère ; lorsque h vaut 2r, on retrouve la sphère entière.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le rayon de la sphère et la hauteur de la calotte dans la même unité. Le calculateur renvoie le volume de la calotte, la surface latérale (courbe), l'aire du disque de base, la surface totale ainsi que le rayon du cercle de base. La hauteur de la calotte est automatiquement bornée entre 0 et le diamètre 2r.
Les formules expliquées
Le volume vaut $$V = \frac{\pi h^{2}}{3}\left(3r - h\right).$$ La surface courbe est $$A = 2\pi r h.$$ La base de la calotte est un cercle dont le rayon a vérifie \(a^{2} = h(2r - h)\) : l'aire de la base est donc \(\pi a^{2}\), et la surface totale correspond à la surface courbe additionnée de l'aire de la base.
Exemple concret
Pour \(r = 5\) et \(h = 2\) : $$V = \frac{\pi \cdot 4}{3}\left(15 - 2\right) = \frac{4\pi}{3}\cdot 13 \approx 54{,}4543 \text{ unités cubes}.$$ Surface courbe \(= 2\pi \cdot 5 \cdot 2 = 20\pi \approx 62{,}8319\). Rayon de la base \(a = \sqrt{2 \cdot 8} = 4\), donc aire de la base \(= 16\pi \approx 50{,}2655\) et surface totale \(\approx 113{,}0973\).
FAQ
Que se passe-t-il si h = r ? On obtient une demi-sphère : avec \(r = 3\) et \(h = 3\), \(V = \frac{\pi \cdot 9}{3}\left(9 - 3\right) = 3\pi \cdot 6 = 18\pi \approx 56{,}5487\).
Quelles unités sont utilisées ? N'importe quelle unité, à condition de rester cohérent : le volume s'exprime en unités cubes et les aires en unités carrées.
h peut-il dépasser le diamètre ? Non. L'outil limite h à un maximum de 2r, soit la sphère complète.
