गोलीय कैप क्या है?
गोलीय कैप किसी गोले का वह हिस्सा होता है जो एक समतल (प्लेन) द्वारा काटकर अलग किया जाता है। इसे गोले की त्रिज्या r और कैप की ऊँचाई h से परिभाषित किया जाता है — यहाँ ऊँचाई का मतलब है काटने वाले समतल से कैप के शीर्ष तक की लंबवत दूरी। जब h का मान r के बराबर हो, तो कैप ठीक एक अर्धगोला (hemisphere) बन जाता है, और जब h का मान 2r हो जाए, तो वह पूरा गोला बन जाता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
गोले की त्रिज्या और कैप की ऊँचाई एक ही इकाई (unit) में दर्ज करें। कैलकुलेटर आपको कैप का आयतन, वक्र (पार्श्व) पृष्ठीय क्षेत्रफल, सपाट आधार वृत्त का क्षेत्रफल, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार वृत्त की त्रिज्या बताएगा। कैप की ऊँचाई अपने आप 0 और व्यास 2r के बीच सीमित कर दी जाती है।
सूत्रों की व्याख्या
आयतन निकालने का सूत्र है $$V = \frac{\pi h^{2}}{3}\left(3r - h\right)$$ वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \(A = 2\pi r h\) होता है। कैप का आधार एक वृत्त होता है जिसकी त्रिज्या \(a\) इस संबंध को पूरा करती है: \(a^{2} = h(2r - h)\)। इसलिए आधार का क्षेत्रफल \(\pi a^{2}\) होता है, और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल वक्र क्षेत्रफल और आधार क्षेत्रफल को जोड़कर मिलता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(r = 5\) और \(h = 2\): तब $$V = \frac{\pi \cdot 4}{3}(15 - 2) = \frac{4\pi}{3}\cdot 13 \approx 54.4543$$ घन इकाई। वक्र क्षेत्रफल \(= 2\pi \cdot 5 \cdot 2 = 20\pi \approx 62.8319\)। आधार त्रिज्या \(a = \sqrt{2 \cdot 8} = 4\), इसलिए आधार क्षेत्रफल \(= 16\pi \approx 50.2655\) और कुल क्षेत्रफल \(\approx 113.0973\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर h = r हो तो क्या होगा? तब आपको एक अर्धगोला मिलता है: \(r = 3\), \(h = 3\) के साथ, $$V = \frac{\pi \cdot 9}{3}(9 - 3) = 3\pi \cdot 6 = 18\pi \approx 56.5487$$
इसमें कौन-सी इकाई इस्तेमाल होती है? कोई भी एकसमान इकाई — आयतन घन इकाई में और क्षेत्रफल वर्ग इकाई में मिलता है।
क्या h व्यास से बड़ा हो सकता है? नहीं। यह टूल h को अधिकतम 2r तक ही सीमित रखता है, जो पूरे गोले के बराबर है।
