球冠体积计算器

输入计算

球体半径 (r)

球冠高度 (h)

数学公式

Show calculation steps (4)

1. Curved Surface Area

   

   Lateral (curved) surface area of the cap

2. Base Area

   

   Area of the flat circular base of the cap

3. Base Radius

   

   Radius of the flat circular base of the cap

4. Total Surface Area

   

   Total area = curved surface area + base area

结果

球冠体积

54.4543

立方单位

曲面（侧面）面积	62.8319
底面圆面积	50.2655
总表面积（曲面 + 底面）	113.0973
底面圆半径 (a)	4

什么是球冠？

球冠是球体被一个平面切割后所截取的那一部分。它由球体半径 r 和球冠高度 h 共同确定，其中 h 指切割平面到球冠顶端的垂直距离。当 h 等于 r 时，球冠恰好是一个半球；当 h 等于 2r 时，球冠就是整个球体。

A spherical cap is the portion of a sphere cut off by a plane.

如何使用本计算器

请使用相同的单位输入球体半径和球冠高度。计算器会返回球冠的体积、曲面（侧面）面积、底面圆的面积、总表面积，以及底面圆的半径。球冠高度会被自动限制在 0 到直径 2r 之间。

公式详解

体积公式为 $$V = \frac{\pi h^{2}}{3}\left(3r - h\right)$$ 曲面面积为 \(A = 2\pi r h\)。球冠的底面是一个圆，其半径 a 满足 \(a^{2} = h(2r - h)\)，因此底面面积为 \(\pi a^{2}\)，而总表面积等于曲面面积加上底面面积。

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The cap's volume and areas depend on sphere radius r and cap height h.

计算示例

设 \(r = 5\)，\(h = 2\)：$$V = \frac{\pi \cdot 4}{3}(15 - 2) = \frac{4\pi}{3} \cdot 13 \approx 54.4543 \text{ 立方单位}$$ 曲面面积 \(= 2\pi \cdot 5 \cdot 2 = 20\pi \approx 62.8319\)。底面半径 \(a = \sqrt{2 \cdot 8} = 4\)，因此底面面积 \(= 16\pi \approx 50.2655\)，总表面积 \(\approx 113.0973\)。

常见问题

如果 h = r 会怎样？此时球冠为半球：当 \(r = 3\)、\(h = 3\) 时，$$V = \frac{\pi \cdot 9}{3}(9 - 3) = 3\pi \cdot 6 = 18\pi \approx 56.5487$$

使用什么单位？任意一致的单位均可——体积以立方单位表示，面积以平方单位表示。

h 可以大于直径吗？不可以。本工具会将 h 限制为最大 2r，即整个球体的情形。