गोलीय टोपी (हेमिस्फेरिकल फ्रस्टम) क्या है?
जब त्रिज्या r वाले किसी गोले को एक क्षैतिज समतल से काटा जाता है और उस समतल के ऊपर (या नीचे) का गुंबदनुमा हिस्सा रख लिया जाता है, तो जो ठोस मिलता है उसे गोलीय टोपी (स्फेरिकल कैप) कहते हैं। इसकी ऊँचाई h को कटे हुए सपाट तल से लेकर गोले के सबसे ऊपरी बिंदु तक मापा जाता है। यह टूल h को r से अधिक नहीं होने देता, इसलिए सबसे बड़ा संभव ठोस ठीक एक अर्धगोला (हेमिस्फेयर) होगा। कटे हुए सपाट वृत्त की त्रिज्या a होती है, जहाँ \(a^{2} = h(2r - h)\)।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
गोले की त्रिज्या r और टोपी की ऊँचाई h को एक ही लंबाई इकाई में दर्ज करें (सेंटीमीटर, इंच, मीटर — आपकी पसंद; परिणाम उसी इकाई के घन और वर्ग में आएँगे)। ध्यान रखें कि 0 < h ≤ r हो। कैलकुलेटर आयतन, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (घुमावदार गुंबद और सपाट आधार दोनों), तथा कुछ उपयोगी मध्यवर्ती मान देता है: गुंबद का क्षेत्रफल, आधार चकती का क्षेत्रफल, और आधार वृत्त की त्रिज्या a।
सूत्रों की व्याख्या
टोपी का आयतन है $$V = \frac{\pi h^{2}}{3}\left(3r - h\right)$$ घुमावदार गोलीय सतह वह गोलीय क्षेत्र है जिसका मान \(2\pi r h\) होता है — यह आर्किमिडीज़ का एक सुंदर परिणाम है। सपाट आधार एक वृत्त है जिसका क्षेत्रफल \(\pi a^{2} = \pi h(2r - h)\) है। इन्हें जोड़ने पर कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल मिलता है $$S = 2\pi r h + \pi h(2r - h) = \pi h(4r - h)$$
हल किया गया उदाहरण
मान लें r = 1 और h = 0.5: $$a = \sqrt{0.5 \times 1.5} = \sqrt{0.75} \approx 0.8660$$ $$V = \pi \times \frac{0.25}{3} \times 2.5 = \pi \times 0.20833 \approx 0.65450$$ घुमावदार क्षेत्रफल \(= 2\pi \times 1 \times 0.5 = \pi \approx 3.14159\)। आधार क्षेत्रफल \(= 0.75\pi \approx 2.35619\)। कुल \(S = \pi \times 0.5 \times 3.5 = 1.75\pi \approx 5.49779\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
h को r तक ही सीमित क्यों रखा गया है? मूल टूल "अधिकतम एक अर्धगोला" को मॉडल करता है, इसलिए यह ऊँचाई को गोले की त्रिज्या तक सीमित रखता है। गणितीय रूप से एक टोपी की ऊँचाई 2r तक हो सकती है, पर यह संस्करण h ≤ r के भीतर ही रहता है।
क्या पृष्ठीय क्षेत्रफल में सपाट चकती शामिल होती है? हाँ। दिखाया गया कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल घुमावदार गुंबद और सपाट कटे वृत्त, दोनों को मिलाकर होता है। यदि आपको केवल गुंबद चाहिए, तो घुमावदार-क्षेत्रफल वाली पंक्ति देखें।
h = r पर क्या होता है? तब आपको एक पूर्ण अर्धगोला मिलता है: \(V = \frac{2}{3}\pi r^{3}\), गुंबद \(= 2\pi r^{2}\), आधार \(= \pi r^{2}\)।
