शंकु का छिन्नक (frustum) क्या होता है?
जब किसी शंकु के ऊपरी सिरे को उसके आधार के समानांतर काट दिया जाता है, तो जो ठोस आकृति बचती है उसे शंकु का छिन्नक (frustum) कहते हैं। इसमें दो वृत्ताकार सतहें होती हैं: एक बड़ी निचली सतह जिसकी त्रिज्या \(R\) है और एक छोटी ऊपरी सतह जिसकी त्रिज्या \(r\) है, और इन दोनों के बीच लंबवत ऊँचाई \(h\) होती है। यह कैलकुलेटर इसकी तिरछी ऊँचाई (slant height), पार्श्व (side) क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालता है।
इसका उपयोग कैसे करें
निचली त्रिज्या \(R\), ऊपरी त्रिज्या \(r\) और लंबवत ऊँचाई \(h\) को किसी एक ही समान इकाई में दर्ज करें। कैलकुलेटर आपको कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में देगा, साथ ही तिरछी ऊँचाई और हर हिस्से का अलग-अलग क्षेत्रफल भी दिखाएगा ताकि आप प्रत्येक चरण की जाँच कर सकें।
सूत्र को समझें
छिन्नक की तिरछी सतह की तिरछी ऊँचाई \(l = \sqrt{h^{2} + \left(R - r\right)^{2}}\) होती है। यह उस समकोण त्रिभुज से मिलती है जिसकी दो भुजाएँ ऊँचाई और दोनों त्रिज्याओं का अंतर हैं। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल \(\pi\left(R + r\right)l\) होता है। इसमें दोनों वृत्ताकार आधारों \(\pi R^{2}\) और \(\pi r^{2}\) को जोड़ने पर कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल प्राप्त होता है:
$$A = \pi\left(R + r\right)\,l + \pi R^{2} + \pi r^{2}$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(R = 5\), \(r = 3\), \(h = 6\): तब $$l = \sqrt{6^{2} + \left(5-3\right)^{2}} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \approx 6.3246$$ पार्श्व क्षेत्रफल \(= \pi\left(5+3\right)\left(6.3246\right) \approx 158.97\)। आधार \(= \pi\cdot 25 + \pi\cdot 9 = 78.54 + 28.27 = 106.81\)। कुल \(\approx 265.78\) वर्ग इकाइयाँ।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर \(R = r\) हो तो? तब छिन्नक एक बेलन (cylinder) बन जाता है; फिर भी यह सूत्र लागू रहता है, जिससे पार्श्व क्षेत्रफल \(= 2\pi R h\) और दो बराबर वृत्ताकार सिरे मिलते हैं।
क्या इसमें ऊपरी आधार भी शामिल है? हाँ—कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में निचला वृत्त (\(\pi R^{2}\)) और ऊपरी वृत्त (\(\pi r^{2}\)) दोनों शामिल होते हैं। अगर आपको खुला छिन्नक चाहिए तो पार्श्व क्षेत्रफल अलग से भी दिखाया जाता है।
यह किन इकाइयों में काम करता है? किसी भी एक समान इकाई में; अगर लंबाई cm में है तो क्षेत्रफल cm² में आएगा।
