ما هو المخروط الناقص؟
المخروط الناقص (أو جذع المخروط) هو المجسم الذي يتبقى عند قطع قمة المخروط بمستوٍ موازٍ لقاعدته، فينتج عن ذلك وجهان دائريان: قاعدة سفلية أكبر نصف قطرها \(R\)، وقاعدة علوية أصغر نصف قطرها \(r\)، يفصل بينهما ارتفاع عمودي \(h\). تحسب هذه الأداة الارتفاع المائل والمساحة الجانبية والمساحة الكلية للسطح.
طريقة الاستخدام
أدخل نصف قطر القاعدة السفلية \(R\)، ونصف قطر القاعدة العلوية \(r\)، والارتفاع العمودي \(h\) باستخدام وحدة قياس موحّدة. ستعرض لك الحاسبة المساحة الكلية للسطح بالوحدات المربعة، إلى جانب الارتفاع المائل وكل مكوّن من مكوّنات المساحة على حدة، لتتمكن من مراجعة كل خطوة بنفسك.
شرح القانون
الجانب المائل للمخروط الناقص له ارتفاع مائل \(l = \sqrt{h^{2} + \left(R - r\right)^{2}}\)، ويُستنتج من المثلث القائم الذي ضلعاه القائمان هما الارتفاع والفرق بين نصفي القطر. أما المساحة الجانبية فهي \(\pi\left(R + r\right)l\). وبإضافة مساحتي القاعدتين الدائريتين، أي \(\pi R^{2}\) و \(\pi r^{2}\)، نحصل على المساحة الكلية للسطح
$$A = \pi\left(R + r\right)\,l + \pi R^{2} + \pi r^{2}$$
مثال محلول
لنفترض أن \(R = 5\) و \(r = 3\) و \(h = 6\): يكون $$l = \sqrt{6^{2} + \left(5-3\right)^{2}} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \approx 6.3246.$$ المساحة الجانبية \(= \pi\left(5+3\right)\left(6.3246\right) \approx 158.97\). مساحة القاعدتين \(= \pi\cdot 25 + \pi\cdot 9 = 78.54 + 28.27 = 106.81\). وبذلك تكون المساحة الكلية \(\approx 265.78\) وحدة مربعة.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان R = r؟ يتحوّل المخروط الناقص حينها إلى أسطوانة، ويظل القانون صحيحًا حيث تصبح المساحة الجانبية \(2\pi Rh\) مضافًا إليها قاعدتان دائريتان متساويتان.
هل تشمل النتيجة القاعدة العلوية؟ نعم، تشمل المساحة الكلية للسطح كلتا الدائرتين: السفلية (\(\pi R^{2}\)) والعلوية (\(\pi r^{2}\)). كما تُعرض المساحة الجانبية وحدها في حال احتجت إلى مخروط ناقص مفتوح.
ما الوحدات المستخدمة؟ أي وحدة قياس موحّدة؛ فإذا كانت الأطوال بالسنتيمتر، تكون المساحة بالسنتيمتر المربع.
