ما هو القاسم المشترك الأكبر؟
القاسم المشترك الأكبر (GCD)، ويُعرف أيضًا بأكبر عامل مشترك، لعددين صحيحين هو أكبر عدد صحيح موجب يقبل كلا العددين القسمة عليه دون باقٍ. على سبيل المثال، القاسم المشترك الأكبر للعددين 48 و36 هو 12، لأن 12 هو أكبر عدد يقسم كليهما قسمة تامة. تحسب هذه الأداة هذه القيمة في لحظات، وتعرض أيضًا المضاعف المشترك الأصغر (LCM).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل العددين الصحيحين في الحقلين المعنونين A وB، ثم اطّلع على النتيجة. تأخذ الأداة القيمة المطلقة لكل إدخال، لذا تتعامل مع الأعداد السالبة بشكل صحيح. وإذا أدخلت الصفر لأحد العددين، فإن القاسم المشترك الأكبر يساوي العدد الآخر (لأن كل عدد صحيح يقسم الصفر).
شرح خوارزمية إقليدس
تعتمد هذه الحاسبة على خوارزمية إقليدس، وهي من أقدم الخوارزميات التي لا تزال مستخدمة حتى اليوم. وتقوم على حقيقة بسيطة: \(\gcd(a,\ b) = \gcd(b,\ a \bmod b)\). تستبدل العدد الأكبر بباقي قسمة العددين بشكل متكرر، إلى أن يصبح الباقي صفرًا. والمقسوم عليه الأخير غير الصفري هو القاسم المشترك الأكبر. تتجنب هذه الطريقة الحاجة إلى تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية، وهي سريعة للغاية حتى مع الأعداد الضخمة.
مثال محلول
أوجد \(\gcd(48,\ 36)\):
$$48 \bmod 36 = 12 \rightarrow \gcd(36,\ 12)$$$$36 \bmod 12 = 0 \rightarrow \gcd(12,\ 0) = 12$$أما المضاعف المشترك الأصغر فهو $$\text{lcm} = \frac{\left|48\right| \times \left|36\right|}{12} = \frac{1728}{12} = 144$$
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين القاسم المشترك الأكبر وأكبر عامل مشترك؟ لا فرق بينهما — فهما اسمان لقيمة واحدة. يشيع مصطلح "Greatest common divisor" في الولايات المتحدة، بينما يشيع "Highest common factor" في المملكة المتحدة.
ما هو القاسم المشترك الأكبر لعددين أوليين فيما بينهما؟ يساوي دائمًا 1. فالعددان مثل 8 و15 لا يشتركان في أي عامل سوى 1، ولذلك يُقال إنهما أوليان فيما بينهما (متباينان).
هل يمكن أن يكون القاسم المشترك الأكبر أكبر من العدد الأصغر؟ لا. لا يمكن أن يتجاوز القاسم المشترك الأكبر العددَ الأصغر من بين العددين، ويساويه تمامًا عندما يقسم العددُ الأصغر العددَ الأكبر.
