最大公約数（GCD）とは？
最大公約数（GCD：Greatest Common Divisor）とは、2つの整数の両方をあまりなく割り切れる、最も大きい正の整数のことです。英語圏では「HCF（highest common factor＝最大公因数）」とも呼ばれますが、意味は同じです。たとえば48と36の最大公約数は12です。これは、両方を割り切れる数の中で12が最も大きいためです。この計算ツールを使えば、その値を瞬時に求められるだけでなく、最小公倍数（LCM）も同時に確認できます。
使い方
「A」と「B」の欄に整数を1つずつ入力すると、結果がすぐに表示されます。入力された数値はそれぞれ絶対値として扱われるため、マイナスの数を入れても正しく計算されます。どちらか一方に0を入力した場合、最大公約数はもう一方の数と等しくなります（どんな整数でも0を割り切れるため）。
ユークリッドの互除法のしくみ
この計算ツールは、現在も広く使われている最古のアルゴリズムの1つ「ユークリッドの互除法」を採用しています。原理は次のシンプルな関係式に基づいています：$$\gcd\left(a,\ b\right) = \gcd\left(b,\ a \bmod b\right)$$。大きいほうの数を、2つの数を割ったときのあまりに置き換える操作をくり返し、あまりが0になるまで続けます。最後に残った0でない除数が最大公約数です。この方法なら素因数分解をする必要がなく、桁数の大きな数でも非常に高速に計算できます。
計算例
\(\gcd(48,\ 36)\) を求めてみましょう：
$$48 \bmod 36 = 12 \rightarrow \gcd(36,\ 12)$$$$36 \bmod 12 = 0 \rightarrow \gcd(12,\ 0) = \mathbf{12}$$
最小公倍数（LCM）は $$\frac{\left|48 \times 36\right|}{12} = \frac{1728}{12} = \mathbf{144}$$ となります。
よくある質問（FAQ）
GCDとHCFの違いは？ 違いはありません。同じ値を指す2つの呼び方です。「greatest common divisor（最大公約数）」は主にアメリカで、「highest common factor（最大公因数）」は主にイギリスで使われます。日本ではどちらも「最大公約数」と訳されます。
互いに素な2つの数の最大公約数は？ 必ず1になります。たとえば8と15のように、1以外に共通の約数を持たない数は「互いに素（コプライム）」と呼ばれます。
最大公約数が小さいほうの数より大きくなることはある？ ありません。最大公約数が2つの数のうち小さいほうを超えることは決してありません。小さいほうの数が大きいほうを割り切れるとき、最大公約数はちょうどその小さいほうの数と等しくなります。
