この変換ツールでできること
このツールは、3次元空間内の点を円柱座標(ρ, θ, z)から球座標(r, θ, φ)へ変換します。純粋な数学計算であり、地域や国による違いはなく、世界中どこでも同じように使えます。本ツールは物理学・ISOの慣例に従っており、θ は方位角(z軸まわりの回転角)、φ は +z 軸から測った極角(傾斜角)を表します。
採用している座標の定義
円柱座標:ρ は z軸からの動径距離(ρ ≥ 0)、θ は xy平面における方位角、z は高さです。球座標:r は原点からの距離、θ は同じ方位角(そのまま引き継がれます)、φ は +z 軸からの傾き角です。r と φ は ρ と z だけで決まるため、方位角 θ は2つの座標系の間で変化しません。
使い方
ρ、θ、z を入力し、角度の単位を度(°)かラジアンのどちらかから選び、表示する桁数を指定します。結果には r、変化しない θ、そして計算された φ が、選択した角度単位で表示されます。
変換公式の解説
動径距離は、z軸とその点を含む平面内で三平方の定理を用いて求めます: $$r = \sqrt{\rho^{2} + z^{2}}$$ 極角は $$\varphi = \operatorname{atan2}\!\left(\rho,\; z\right)$$ です。ここで \(\operatorname{atan}(\rho/z)\) ではなく atan2 を用いるのは、z = 0 のときにちょうど 90° となり、z < 0 では 90° より大きい角度が返り、結果が常に \([0, \pi]\) の範囲に収まるようにするためです。
計算例
ρ = 3、θ = 60°、z = 4 の場合: $$r = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ $$\varphi = \operatorname{atan2}(3, 4) = \operatorname{atan}(0.75) = 36.86989765°$$ θ は 60° のままです。したがって球座標は (5, 60°, 36.86989765°) となります。
よくある質問
なぜ θ は変化しないのですか？どちらの座標系も z軸まわりの方位角を同じ方法で測るため、そのまま引き継がれます。
z = 0 のときはどうなりますか？その点は xy平面上にあるため、\(\varphi = 90°\)(\(\pi/2\))になります。atan2 はゼロ除算を起こさずにこの場合を正しく処理します。
ρ = 0 かつ z = 0 のときは？その点は原点です。r = 0 となり、φ は数学的に未定義です(本ツールでは 0 を返します)。
