円柱座標から直交座標への変換とは
このツールは、3次元空間内の点を円柱座標 ― すなわち動径距離 ρ(ロー)、方位角 θ(シータ)、高さ z ― で与えたとき、これを標準的な直交座標(デカルト座標)(x, y, z)へ変換します。円柱座標は、配管・導線・電磁場など回転対称性をもつ問題を扱う物理学や工学の分野で広く用いられます。一方、直交座標は私たちが日常的に使う x-y-z の座標系です。
使い方
動径距離 ρ(z軸から点までの距離)、方位角 θ(xy平面内で正のx軸から測った角度)、高さ z を入力します。θ を度数法(度)で与えるか弧度法(ラジアン)で与えるかを選択すると、変換後の (x, y, z) の値が表示されます。すべての入力欄は、負の数やゼロを含む任意の実数を受け付けます。
計算式の解説
変換は純粋な三角関数の計算です。まず角度をラジアンに換算します。度数法を選んだ場合は \(\theta\) に \(\frac{\pi}{180}\) を掛けます。次に
$$x = \rho\cos\theta, \quad y = \rho\sin\theta, \quad z = z$$とし、動径距離を水平方向の成分に分解します。高さ \(z\) はそのまま変わりません(\(z = z\))。これらの式は掛け算のみで構成されているため、ゼロ除算の問題は一切起こりません。\(\rho = 0\) のときは点が z軸上に位置し、\(x = y = 0\) となります。
計算例
\(\rho = 3\)、\(\theta = 60\) 度、\(z = 4\) の場合を考えます。角度を換算すると \(60\cdot\frac{\pi}{180} = 1.0472\) ラジアンです。\(\cos(60°) = 0.5\)、\(\sin(60°) = 0.8660254\) なので、
$$x = 3\cdot 0.5 = 1.5, \quad y = 3\cdot 0.8660254 = 2.5980762$$となり、\(z\) は 4 のままです。よって直交座標の点は (1.5, 2.5980762, 4) になります。
よくある質問
ρ と z の単位は何ですか? お好きな長さの単位を一貫して使えます。このツールは無次元なので、入力した単位がそのまま x, y, z の単位として出力されます。
角度は負の値や360度を超える値でもよいですか? 問題ありません。三角関数は任意の角度を扱えるため、-45° や 720° といった値も正しく計算できます。
逆方向の変換はどうすればよいですか? 逆変換(直交座標→円柱座標)は \(\rho = \sqrt{x^2 + y^2}\)、\(\theta = \operatorname{atan2}(y, x)\)、\(z = z\) で求められます。
