원통좌표 → 직교좌표 변환기란?
이 변환기는 원통좌표로 표현된 3차원 공간의 한 점을 표준 직교좌표(직각좌표) (x, y, z)로 바꿔 줍니다. 원통좌표는 z축까지의 반지름 거리 \(\rho\), 방위각(azimuthal angle) \(\theta\), 그리고 높이 \(z\)의 세 가지 값으로 이루어집니다. 원통좌표는 파이프나 전선, 전자기장처럼 회전 대칭을 가진 문제를 다룰 때 물리학과 공학에서 폭넓게 쓰이며, 직교좌표는 우리가 일상적으로 사용하는 x-y-z 좌표계입니다.
사용 방법
먼저 반지름 거리 \(\rho\)(z축에서 점까지의 거리)를 입력하고, 방위각 \(\theta\)(xy 평면에서 양의 x축으로부터 측정한 각도), 마지막으로 높이 \(z\)를 입력하세요. \(\theta\)가 도(degree)인지 라디안(radian)인지 선택한 뒤, 변환된 (x, y, z) 값을 바로 확인하면 됩니다. 모든 입력값에는 음수와 0을 포함한 임의의 실수를 넣을 수 있습니다.
변환 공식 풀이
변환은 순수한 삼각함수 계산입니다. 먼저 각도를 라디안으로 바꿉니다. 도 단위를 선택했다면 \(\theta\)에 \(\pi/180\)을 곱하면 됩니다. 그다음 다음과 같이 계산하여 반지름 거리를 수평 성분으로 분해합니다.
$$x = \rho\cos\theta, \quad y = \rho\sin\theta, \quad z = z$$높이 \(z\)는 그대로 유지되어 \(z = z\) 입니다. 공식이 곱셈만 사용하므로 0으로 나누는 문제는 절대 발생하지 않으며, \(\rho = 0\)일 때는 점이 z축 위에 놓이므로 \(x = y = 0\)이 됩니다.
계산 예시
\(\rho = 3\), \(\theta = 60\)도, \(z = 4\) 인 경우를 살펴봅시다. 먼저 각도를 변환하면 다음과 같습니다.
$$60 \cdot \frac{\pi}{180} = 1.0472 \text{ 라디안}$$\(\cos(60°) = 0.5\), \(\sin(60°) = 0.8660254\) 이므로
$$x = 3 \cdot 0.5 = 1.5, \quad y = 3 \cdot 0.8660254 = 2.5980762$$이고 \(z\)는 4로 유지됩니다. 따라서 직교좌표 점은 \((1.5, 2.5980762, 4)\)가 됩니다.
자주 묻는 질문
rho와 z의 단위는 무엇인가요? 원하는 어떤 길이 단위든 일관되게 사용하면 됩니다. 이 변환기는 무차원이므로, x, y, z는 입력한 것과 동일한 단위로 나옵니다.
각도가 음수이거나 360도를 넘어도 되나요? 네, 가능합니다. 삼각함수는 어떤 각도든 처리할 수 있으므로 \(-45°\)나 \(720°\) 같은 값도 정확하게 계산됩니다.
반대로 변환하려면 어떻게 하나요? 역변환(직교좌표 → 원통좌표)은 \(\rho = \sqrt{x^2 + y^2}\), \(\theta = \operatorname{atan2}(y, x)\), \(z = z\) 공식을 사용합니다.
