이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
이 도구는 원의 방정식을 일반형(\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\))에서 훨씬 다루기 쉬운 표준형 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)으로 변환해 줍니다. 표준형으로 바꾸면 원의 중심 \((h, k)\)과 반지름 \(r\)을 한눈에 읽어낼 수 있어, 그래프를 그리거나 도형 문제를 풀 때 훨씬 편리합니다.
사용 방법
일반형 방정식에 나타난 세 계수를 그대로 입력하세요. D(x의 계수), E(y의 계수), 그리고 F(상수항)입니다. 계산기가 자동으로 완전제곱식을 만들어 중심과 반지름, 그리고 완성된 표준형 방정식까지 한 번에 알려 줍니다.
공식 풀이
x항과 y항을 각각 완전제곱식으로 정리하면 \(h = -\dfrac{D}{2}\), \(k = -\dfrac{E}{2}\)가 됩니다. 이를 다시 대입하면 우변은 \(r^2 = h^2 + k^2 - F\)가 되므로 반지름은 다음과 같습니다.
$$ r = \sqrt{h^2 + k^2 - F} $$만약 이 값이 0이면 '원'은 한 점에 불과하고, 음수라면 실수 범위에서 존재하는 원은 없습니다.
예제로 살펴보기
\(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\)을 예로 들면 \(D = -6\), \(E = 8\), \(F = 9\)입니다. 따라서 \(h = -\dfrac{-6}{2} = 3\), \(k = -\dfrac{8}{2} = -4\)가 됩니다. 반지름의 제곱은 다음과 같습니다.
$$ 3^2 + (-4)^2 - 9 = 9 + 16 - 9 = 16 $$이므로 \(r = 4\)입니다. 결국 표준형은 다음과 같습니다.
$$ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16 $$
자주 묻는 질문
방정식에 \(Ax^2 + Ay^2\) 항이 있으면 어떻게 하나요? 먼저 방정식 전체를 \(A\)로 나눠서 \(x^2\)과 \(y^2\)의 계수를 1로 만든 뒤, 그렇게 얻은 D, E, F 값을 사용하면 됩니다.
중심이 왜 \((D/2, E/2)\)가 아니라 \((-D/2, -E/2)\)인가요? 완전제곱식을 만드는 과정에서 부호가 뒤집히기 때문입니다. 그래서 중심 좌표는 일차항 계수의 절반에 음수를 붙인 값이 됩니다.
\(r^2\)이 음수면 무슨 뜻인가요? 방정식에 실수 해가 없다는 뜻입니다. 즉 실제 원은 존재하지 않고, 허수 형태의 원만 있을 뿐입니다.
