이 계산기의 기능
이차함수는 서로 같은 두 가지 방식으로 표현할 수 있습니다. 꼭짓점 형태 \(a(x-h)^2+k\)는 꼭짓점 \((h, k)\)를 한눈에 읽을 수 있다는 장점이 있습니다. 반면 일반형 \(ax^2+bx+c\)는 근의 공식을 적용하거나 y절편을 확인할 때 편리합니다. 이 도구는 제곱 항을 전개하고 동류항을 정리하여 꼭짓점 형태를 일반형으로 바꿔 줍니다.
사용 방법
꼭짓점 형태의 세 가지 값을 입력하세요. a는 포물선의 폭과 방향(위로/아래로 볼록)을 결정하는 최고차항 계수, h는 꼭짓점의 x좌표, k는 꼭짓점의 y좌표입니다. 계산기는 일반형 계수 \(a\), \(b\), \(c\)를 돌려주므로 $$y = ax^2 + bx + c$$ 형태로 바로 적을 수 있습니다.
공식 풀이
\(a(x-h)^2 + k\)에서 시작합니다. 제곱을 전개하면 \((x-h)^2 = x^2 - 2hx + h^2\)이 됩니다. 여기에 \(a\)를 곱하면 \(ax^2 - 2ahx + ah^2\)이 되고, 마지막으로 상수항 \(k\)를 더합니다. 항을 정리하면 다음과 같습니다.
\(a\)는 그대로 유지되고, \(b = -2ah\), \(c = a\cdot h^2 + k\)입니다.
예제 풀이
\(y = 2(x - 3)^2 + 5\)를 변환해 봅시다. 여기서 \(a = 2\), \(h = 3\), \(k = 5\)입니다. 그러면 $$b = -2(2)(3) = -12$$이고, $$c = 2(3^2) + 5 = 18 + 5 = 23$$입니다. 따라서 일반형은 $$y = 2x^2 - 12x + 23$$이 됩니다.
자주 묻는 질문
\(a = 0\)이면 어떻게 되나요? 이 경우는 이차함수가 아닙니다. 상수함수 \(y = k\)로 줄어들며, 일반형에 \(x^2\)항이나 \(x\)항이 없습니다.
변환하면 꼭짓점이 바뀌나요? 아닙니다. 두 형태는 완전히 같은 포물선을 나타내며, 표기 방식만 달라질 뿐입니다.
\(h\)가 양수인데 왜 \(b\)는 음수인가요? \(b = -2ah\)이기 때문입니다. 꼭짓점의 x좌표가 양수이고 \(a\)도 양수라면, 가운데 계수 \(b\)는 음수가 됩니다.
