Bu Araç Ne İşe Yarar?
Bir kuadratik (ikinci dereceden) fonksiyon iki eşdeğer biçimde yazılabilir. Tepe noktası formu olan \(a(x-h)^{2}+k\), parabolün tepe noktasını \((h, k)\) doğrudan okumanızı sağlar. Standart form olan \(ax^{2}+bx+c\) ise diskriminant formülünü uygularken ya da y eksenini kestiği noktayı bulurken işinizi kolaylaştırır. Bu araç, kare ifadesini açıp benzer terimleri toplayarak tepe noktası formunu standart forma çevirir.
Nasıl Kullanılır?
Tepe noktası formundaki üç parametreyi girin: a (parabolün genişliğini ve yönünü belirleyen baş katsayı), h (tepe noktasının x koordinatı) ve k (tepe noktasının y koordinatı). Hesaplayıcı, $$y = ax^{2} + bx + c$$ şeklinde yazabilmeniz için standart formdaki a, b ve c katsayılarını verir.
Formülün Açıklaması
\(a(x-h)^{2} + k\) ifadesiyle başlayalım. Kareyi açalım: $$(x-h)^{2} = x^{2} - 2hx + h^{2}$$ Tümünü a ile çarpalım: $$a\cdot x^{2} - 2ah\cdot x + a\cdot h^{2}$$ Sabit terimi elde etmek için k'yı ekleyelim. Terimleri topladığımızda şu sonuca ulaşırız:
a aynı kalır, \(b = -2ah\), \(c = a\cdot h^{2} + k\).
Örnek Çözüm
\(y = 2(x - 3)^{2} + 5\) ifadesini dönüştürelim. Burada \(a = 2\), \(h = 3\), \(k = 5\). Buna göre $$b = -2(2)(3) = -12$$ ve $$c = 2(3^{2}) + 5 = 18 + 5 = 23$$ olur. Dolayısıyla standart form \(y = 2x^{2} - 12x + 23\) şeklindedir.
Sıkça Sorulan Sorular
\(a = 0\) olursa ne olur? Bu durumda ifade artık kuadratik değildir; \(y = k\) şeklinde bir sabite indirgenir ve standart formda \(x^{2}\) ile x terimleri yer almaz.
Dönüştürme sonrası tepe noktası değişir mi? Hayır. Her iki form da tam olarak aynı parabolü tanımlar; yalnızca yazılış biçimi değişir.
h pozitifken b neden negatif çıkıyor? \(b = -2ah\) olduğu için, pozitif bir tepe noktası x koordinatı ile pozitif bir a, ortadaki katsayının negatif olmasına yol açar.
