Qué hace esta calculadora
Una función cuadrática puede escribirse de dos maneras equivalentes. La forma de vértice, \(a(x-h)^{2}+k\), permite identificar el vértice \((h, k)\) de un vistazo. La forma estándar, \(ax^{2}+bx+c\), resulta práctica para aplicar la fórmula general o leer directamente el punto de corte con el eje Y. Esta herramienta transforma la forma de vértice en forma estándar desarrollando el cuadrado y agrupando los términos semejantes.
Cómo usarla
Introduce los tres parámetros de la forma de vértice: a (el coeficiente principal, que determina la apertura y la orientación de la parábola), h (la coordenada x del vértice) y k (la coordenada y del vértice). La calculadora te devuelve los coeficientes a, b y c de la forma estándar para que puedas escribir $$y = ax^{2} + bx + c.$$
La fórmula explicada
Partimos de \(a(x-h)^{2} + k\). Desarrollamos el cuadrado: \((x-h)^{2} = x^{2} - 2hx + h^{2}\). Multiplicamos por a: \(a\cdot x^{2} - 2ah\cdot x + a\cdot h^{2}\). Sumamos k para obtener el término independiente. Al agrupar los términos resulta:
a se mantiene igual, \(b = -2ah\) y \(c = a\cdot h^{2} + k\).
Ejemplo resuelto
Convertimos \(y = 2(x - 3)^{2} + 5\). Aquí \(a = 2\), \(h = 3\) y \(k = 5\). Entonces $$b = -2(2)(3) = -12$$ y $$c = 2(3^{2}) + 5 = 18 + 5 = 23.$$ Por tanto, la forma estándar es $$y = 2x^{2} - 12x + 23.$$
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si a = 0? En ese caso ya no es una cuadrática: se reduce a la constante \(y = k\), y la forma estándar no tiene términos en \(x^{2}\) ni en x.
¿Cambia el vértice tras la conversión? No. Las dos formas describen exactamente la misma parábola; lo único que cambia es la manera de escribirla.
¿Por qué b es negativo cuando h es positivo? Porque \(b = -2ah\): una coordenada x del vértice positiva junto con un valor de a positivo da como resultado un coeficiente central negativo.
