この計算機でできること
二次関数には、同じ内容を表す2通りの書き方があります。頂点形式 \(a(x-h)^2+k\) は、頂点 \((h, k)\) がひと目でわかるのが特徴です。一方、標準形 \(ax^2+bx+c\) は、解の公式を使ったり y 切片を読み取ったりするのに便利な形です。このツールは、2乗の項を展開して同類項をまとめることで、頂点形式を標準形へと変換します。
使い方
頂点形式の3つのパラメータを入力します。a（放物線の開き具合と向きを決める最高次の係数）、h（頂点の x 座標）、k（頂点の y 座標）です。計算機が標準形の係数 a・b・c を返すので、そのまま \(y = ax^2 + bx + c\) の形で書き表せます。
計算式の解説
まず \(a(x-h)^2 + k\) から始めます。2乗を展開すると、$$(x-h)^2 = x^2 - 2hx + h^2$$ これに a を掛けると、\(a x^2 - 2ah x + a h^2\)。さらに k を足したものが定数項になります。整理すると、次のようになります。
a はそのまま、\(b = -2ah\)、\(c = a\cdot h^2 + k\)。
$$y = ax^{2} + bx + c \qquad \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= a \\ b &= -2ah \\ c &= ah^{2} + k \end{aligned} \right.$$
具体例
\(y = 2(x - 3)^2 + 5\) を変換してみましょう。ここでは a = 2、h = 3、k = 5 です。すると $$b = -2(2)(3) = -12$$ $$c = 2(3^2) + 5 = 18 + 5 = 23$$ となります。したがって標準形は \(y = 2x^2 - 12x + 23\) です。
よくある質問
a = 0 のときは？ その場合はもはや二次関数ではなく、定数 \(y = k\) に簡略化されます。標準形に \(x^2\) や x の項は現れません。
変換すると頂点は変わる？ いいえ。2つの形式はまったく同じ放物線を表しており、変わるのは書き方だけです。
h が正なのに b が負になるのはなぜ？ \(b = -2ah\) だからです。頂点の x 座標が正で a も正の場合、中央の係数 b は負になります。
