Что делает этот калькулятор
Квадратичную функцию можно записать двумя равноценными способами. Вершинная форма \(a(x-h)^{2}+k\) удобна тем, что сразу показывает координаты вершины параболы \((h, k)\). Общий вид \(ax^{2}+bx+c\) пригодится, когда нужно применить формулу дискриминанта или найти точку пересечения с осью y. Этот инструмент переводит вершинную форму в общий вид: раскрывает квадрат и приводит подобные слагаемые за вас.
Как пользоваться
Введите три параметра вершинной формы: a — старший коэффициент, который задаёт «ширину» параболы и направление её ветвей; h — абсциссу (координату x) вершины; k — ординату (координату y) вершины. Калькулятор вернёт коэффициенты a, b и c общего вида, и вы сможете записать функцию как $$y = ax^{2} + bx + c.$$
Разбор формулы
Берём выражение \(a(x-h)^{2} + k\). Раскрываем квадрат: \((x-h)^{2} = x^{2} - 2hx + h^{2}\). Умножаем на a: \(a\cdot x^{2} - 2ah\cdot x + a\cdot h^{2}\). Прибавляем k — это и есть свободный член. После приведения подобных получаем:
a остаётся прежним, \(b = -2ah\), \(c = a\cdot h^{2} + k\).
Пример с решением
Переведём \(y = 2(x - 3)^{2} + 5\). Здесь \(a = 2\), \(h = 3\), \(k = 5\). Тогда \(b = -2\cdot(2)\cdot(3) = -12\), а \(c = 2\cdot(3^{2}) + 5 = 18 + 5 = 23\). Итак, общий вид: $$y = 2x^{2} - 12x + 23.$$
Частые вопросы
А если \(a = 0\)? Тогда функция уже не квадратичная — она превращается в постоянную \(y = k\), и в общем виде не остаётся ни члена с \(x^{2}\), ни члена с x.
Меняется ли вершина после перевода? Нет. Обе формы описывают одну и ту же параболу — меняется только способ записи.
Почему b отрицательный при положительном h? Потому что \(b = -2ah\): положительная координата вершины по x вместе с положительным a даёт отрицательный средний коэффициент.
