Что делает калькулятор вершинной формы?
Этот калькулятор переводит квадратное уравнение из стандартного вида \(y = ax^2 + bx + c\) в вершинную форму \(y = a(x - h)^2 + k\). Вершинная форма сразу показывает точку поворота параболы (её вершину) и ось симметрии. Это удобно при построении графиков, в задачах на оптимизацию, а также при поиске максимума или минимума функции.
Как пользоваться калькулятором
Введите три коэффициента a, b и c из своего квадратного уравнения. Калькулятор вычислит координаты вершины h и k и перепишет уравнение в вершинной форме. Значение a остаётся неизменным: именно оно определяет, насколько «широкой» будет парабола и куда направлены её ветви — вверх (\(a > 0\)) или вниз (\(a < 0\)).
Разбор формулы
Если выделить полный квадрат в выражении \(y = ax^2 + bx + c\), получится \(y = a(x - h)^2 + k\). Горизонтальный сдвиг равен \(h = -b / (2a)\) — это та же формула, что и для оси симметрии. Вертикальное положение вершины: \(k = c - b^2 / (4a)\). Если подставить найденное \(h\) обратно в исходное уравнение, мы получим то же самое \(k\), поэтому вершина параболы находится ровно в точке \((h, k)\).
$$y = \text{a}\,(x - h)^2 + k \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= -\dfrac{\text{b}}{2\,\text{a}} \\ k &= \text{c} - \dfrac{\text{b}^2}{4\,\text{a}} \end{aligned} \right.$$
Пример решения
Возьмём \(y = x^2 - 4x + 3\), то есть \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). Тогда
$$h = -\frac{-4}{2\cdot 1} = 2$$ $$k = 3 - \frac{(-4)^2}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$Вершинная форма имеет вид \(y = (x - 2)^2 - 1\), а вершина параболы находится в точке \((2, -1)\).
Частые вопросы
А если \(a = 0\)? Тогда уравнение становится линейным, а не квадратным, и вершины у него нет — введите для a любое ненулевое значение.
Является ли h осью симметрии? Да. Вертикальная прямая \(x = h\) и есть ось симметрии параболы.
Может ли a быть отрицательным? Конечно. Отрицательное a означает, что ветви параболы направлены вниз, а вершина является точкой максимума.
